??? 摘 要： 介紹一種新的多尺度分析" title="多尺度分析">多尺度分析方法，并給出了一維EMD實現方法及其在信號處理中的應用以及二維EMD實現方法及其在圖像處理" title="圖像處理">圖像處理中應用，該方法的應用實例及分析過程，同時分析了EMD的優越性和應用前景。
??? 關鍵詞： HHT? 多尺度分析? EMD

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??? 自然界的絕大多數現象都是非線性、非平穩又或者伴有非線性、非平穩現象的過程，因而在信號分析" title="信號分析">信號分析中，非平穩信號分析是重要而常見的，以往對它們的處理方法都或多或少存在缺點和不足^[1]。希爾伯特-黃變換HHT(Hilbert-Huang Transform)是繼小波變換之后,由美國科學家Norden E Huang等人于1998年提出的又一種多尺度分析的全新方法。是一種適合處理非線性，非平穩信號的分析方法。非線性、非平穩信號分析的主要目的是要揭示信號時頻變化規律。這種規律雖然目前可以通過短時傅立葉變換、小波變換等時頻分析法進行分析，但這些方法都是通過幅值譜來展示頻率變化規律的，實質都是以傅立葉變換(FT)為理論依據，因此不可避免地會因FT分析非線性、非平穩信號所帶來的缺陷，如出現虛假頻率，因此所顯示的信號的頻率變化規律只能是粗略的。此外，小波變換作為近年來廣泛受到關注和應用的多尺度分析方法也存在不能克服的缺陷，如最優小波基的選取、變換層數的確定，在不同小波基下處理所得的結果大不相同。正是在這一背景下，N.E.Huang等人創造性地提出了固有模態函數IMF(Intrinsic Mode Function)概念和經驗模式分解EMD(Empirical Mode Decomposition)方法，再將信號分解所得的各階IMF進行Hilbert變換，形成時間頻率能量譜，從而得到瞬時頻率并定義為Hilbert譜。美國NASA宇航中心將這種形式的Hilbert變換稱為Hilbert-Huang變換（HHT）。這是一種以瞬時頻率為核心概念的方法，理論上能精確給出信號中頻率隨時間變化的規律，避免了虛假頻率等冗余現象，同時EMD的基隨信號自適應地產生，不同信號的基是惟一的，不需要選擇。HHT方法一出現就受到廣大研究人員的青睞?，F已應用到地球物理、生物醫學、振動工程、機械工程、故障檢測、圖像處理等領域，實踐表明，較依賴于先驗函數基的Fourier分析和小波分析等方法，HHT更適合處理非平穩信號，是一種具有自適應性的時頻局部化多尺度分析方法。將Nunes等人的一維EMD思想應用于二維圖像處理中，使EMD的發展向前邁進了一步。本文給出了二維EMD的實現方法及應用。
1 EMD的實現及應用
1.1 一維EMD和Hilbert的實現
??? Hilbert-Huang變換分為兩步：首先用經驗模態分解方法EMD獲得有限數目的固有模態函數IMF，然后再利用Hilbert變換和瞬時頻率方法獲得信號的時-頻譜——Hilbert譜。由于瞬時頻率方法對任意信號不都適用, 它只對單分量信號(Monocomponent signal)才有意義，而對于自然界和工程應用領域，獲取的信號一般都不能滿足單分量信號的要求，因此，必須對信號進行適當的處理。經驗模態分解方法(EMD)就是通過對信號進行分解，使之能夠表示為許多單分量信號之和。在Hilbert-Huang變換中，為了把復雜的信號分解為簡單的單分量信號的組合, EMD所獲得的固有模態函數(IMF)必須滿足下列兩個條件^[2-3]：
??? (1)在整個信號長度上，一個IMF的極值點和過零點數目必須相等或至多只相差一點。
??? (2)在任意時刻，由極大值點定義的上包絡線和由極小值點定義的下包絡線的平均值為零，也就是說，IMF 的上下包絡線對稱于時間軸。滿足上述條件的IMF就是一個單分量信號。對于給定的信號，Huang所介紹的EMD方法是：
??? 首先找到信號的極大值和極小值，通過三次樣條擬合，從而獲得信號的上包絡曲線env_max和下包絡曲線env_min, 計算上下包絡曲線的平均值曲線m1：m1=(env_max+env_min)/2。設分析信號為x(t)，則：
??? x(t)-m₁=h₁
??? 從理論上講，h₁即為第一階IMF分量，但由于樣條擬合h₁不一定滿足IMF的條件，因此把h₁作為原始數據，重復上述步驟，反復減均，直到滿足IMF的條件為止。然后，從原始信號中減去h₁即可獲得信號的逼近分量R₁。
??? x(t)-h₁=R₁
??? 對R₁重復上面的過程, 就可以獲得第二階IMF分量。通過EMD方法對信號的一次次的篩分，就可以獲得信號的多個IMF分量和一個逼近分量R_n，從而信號可由下式表示：

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??? 因此，對任何一個信號x(t)，都可以將其分解為n個固有模態分量和1個殘余分量R_n之和，其中，分量h₁，h₂，…h_n，包含了信號從高到低不同頻率段的成分，且這些成分在頻域相互正交，而R_n則表示了信號x(t)的整體趨勢。
??? 以上分解過程可以解釋為時空尺度濾波的過程，每一個IMF分量都反映了信號的不同特征尺度的分量，代表著信號的非線性非平穩信號的內在模態特征。若各階IMF都滿足Hilbert變換的前提條件，可以對它們作Hilbert變換：

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??? x(t)和y(t)形成一復共軛對，則其解析信號z(t)=x(t)+iy(t)=a(t)e^iθ(t)，幅值函數a(t)=相位函數

??? 再對相位函數求導即得IMF分量的瞬時頻率為：得到信號的Hilbert譜：更進一步，通過對時間積分可獲得信號的Hilbert邊際譜：

1.2 一維EMD的應用
??? 這里選取三個正弦函數(一個頻率較低且幅值較大，另兩個頻率較高且幅值較小)和一個階躍函數的疊加信號，對其進行四層EMD分解，如圖1所示。圖1中，從左到右是原始信號，從上到下是第一層到第四層IMF分量及四層分解后的殘余。實驗結果證明，信號經EMD后得到了從高頻到低頻不同頻率段的成分、殘余代表信號的主要趨勢。如果兩個相對高頻的正弦函數成分為噪聲，則得到的殘余成分非常接近于能量較大的低頻正弦函數成分和階躍函數成分的疊加。如圖1(f)所示的一個波形。實驗結果很明顯地反映了EMD的去噪" title="去噪">去噪作用，而且這種去噪是完全自適應性的處理，效果理想。從圖中也可看出，一維EMD存在邊界效應，現已有一些研究人員提出了解決辦法，如Huang提出的用特征波CW對原始信號進行延拓的方法、基于神經網絡技術對數據序列進行延拓的方法、基于AR模型的Levinson-Durbin算法的線性預測的方法以及采用最大熵譜(即Burg)估計進行邊界延拓的方法，一定程度上避免了邊界效應。

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2 二維EMD的實現及應用
2.1 基于一維EMD提出二維EMD方法的實現
??? (1)求曲面局部極值點就是求出曲面上所有的比周圍臨近點都大或都小的點。本文采用3×3（或5×5或7×7，總之是奇數維）數組，通過中心點與周圍點比較分別確定極大值點和極小值點。對于一般邊界數據的處理，因為只有在一半的鄰域內有數據，所以只能在1/2的鄰域區間內尋找極值點。對于四個角處的數據處理，則考慮1/4鄰域區間。
??? (2)極值點找出來之后，要對各極大值點和各極小值點分別進行曲面擬合。本文采用三角剖分結合線性插值" title="插值">插值或立方插值進行曲面擬合。三角剖分支持呈散射狀分布的數據點的插值且速度較快。這樣，經插值后得到極大值點曲面包絡和極小值點曲面包絡，將兩曲面數據求平均得到均值包絡曲面數據。
??? (3)用原始曲面減去均值包絡曲面。
??? (4)與一維EMD方法相似需計算終止條件，這里用max_ima表示減勻前曲面數據的最大值的絕對值，用max_imd表示該曲面的均值包絡曲面數據的最大值的絕對值，計算終止條件：，收斂速度較快些。
2.2 二維EMD的應用
??? 根據上述二維EMD的分解原理和分解方法，本文對標準Lena圖像進行五層的EMD分解，其結果如圖2所示。圖2中，從左到右是原始信號，從上到下是第一層到第五層二維IMF分量，依次得到從低頻到高頻的不同頻帶范圍內的分量。高頻分量代表圖像的細節，與現有的幾種提取圖像邊緣的方法相比，這里提取的細節更為全面，同時又只攜帶了很少的能量。用EMD將圖像分解成各層細節和輪廓（殘余）之后也為圖像進一步處理（如圖像增強、圖像壓縮等）提供了新的前提。在將圖像分解為高頻、次高頻等分量的過程中，圖像中各點經歷著提取自身的相對高頻、次高頻的過程，所以，相信基于這種方法的圖像處理效果與以往的處理方法相比會有所不同，效果更自然，有其獨特的視覺意義。

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參考文獻
[1] HUANG N E，SHEN Z，LONG S R，et al.The empirical?mode decomposition method and the Hilbert spectrum for non-stationary time series analysis.Proc.R.Soc.Lond.A454，1998：903-995.
[2] WU Zhaohua，HUANG N E.A study of the characteristics?of white noise using the empirical mode decomposition?method.Proc.Roy.Soc.London A，Dec，2002.
[3] 鐘佑明，秦樹人，湯寶平.Hilbert-Huang變換中的理論研究[J]．振動與沖擊，2002，21(4)：13-17．