平均是減小測(cè)量系統(tǒng)固有不確定度的一個(gè)最常用的方法。進(jìn)行多次測(cè)量，對(duì)其結(jié)果求平均，可以減小測(cè)量隨機(jī)性的影響。如今大部分測(cè)量?jī)x器都具有平均功能，儀器通常不是直接輸出含有噪聲的結(jié)果，而是測(cè)量上百次，計(jì)算出平均值，把平均值作為結(jié)果輸出。但是下文會(huì)描述：頻譜分析儀中的功率平均有時(shí)會(huì)導(dǎo)致不正確的結(jié)果。

本文的試驗(yàn)會(huì)引用兩家不同廠商的頻譜分析儀的功率測(cè)量結(jié)果。但是本文的結(jié)論對(duì)任何使用“后處理平均方法”的頻譜分析儀都適用。

第一個(gè)錯(cuò)誤觀點(diǎn)：對(duì)均方根功率求平均，可以得出跨度為零的軌跡(或其一部分)的平均功率。為了更好的駁斥這個(gè)觀點(diǎn)，有必要先了解一下平均的數(shù)學(xué)定義。如公式1所示：MAVE是某個(gè)試驗(yàn)N次測(cè)量的平均值，其中Mi是每一次測(cè)量的結(jié)果。

在這個(gè)例子中，儀器A和儀器B的結(jié)果，可接受的差異在一定范圍之內(nèi)(比如±1dB)，所有的測(cè)試都是在頻率跨度為零ZS(zero span)的情況下測(cè)試的，這時(shí)頻譜分析儀會(huì)在一個(gè)固定的頻點(diǎn)，測(cè)量這個(gè)頻點(diǎn)的功率隨時(shí)間變化的關(guān)系。這里并不是刻意選擇ZS模式的，其實(shí)平均問(wèn)題在傳統(tǒng)的頻域掃描測(cè)試中也存在。

在兩個(gè)例子中，都采用ZS模式測(cè)量零信道功率比ACPR(adjacent-channel-power-ratio)。對(duì)于現(xiàn)代采用數(shù)字中頻濾波器的頻譜分析儀而言，這種測(cè)量功能是必備的，可以在偏離載波中心不同頻偏的頻率點(diǎn)多次測(cè)量功率，而不需要重新調(diào)諧頻譜分析儀的中心頻率。

圖1顯示的是ZS模式下，一個(gè)GSM時(shí)隙脈沖信號(hào)。其中藍(lán)色的曲線是脈沖的功率包絡(luò)。這里測(cè)量的是“射頻輸出調(diào)制譜”，也就是所謂的ACPR測(cè)量。

從這條曲線可以得到很多結(jié)果，如最大峰值功率、最小功率和平均功率，尋找最大/最小功率在概念上非常直觀，儀器直接從軌跡中搜索出最大/最小點(diǎn)即可。

計(jì)算平均功率最簡(jiǎn)單的方法(當(dāng)然也是正確的)就是對(duì)紅色界限范圍內(nèi)的測(cè)量點(diǎn)求平均。如公式2所示，其中N是紅色界限內(nèi)的點(diǎn)數(shù)，Pith point是第i個(gè)點(diǎn)的功率。

問(wèn)題是，儀器廠商對(duì)于功率平均的方法是不一致的。其中一個(gè)廠家是按照公式2來(lái)計(jì)算的；但是另一個(gè)廠商先把功率轉(zhuǎn)換成電壓，對(duì)電壓求平均，再把平均電壓換算成平均功率，如公式3所示。

由于兩種儀器輸出的平均值的差別不大，所以很難看出其中一種儀器用的是公式2，而另一種用的是公式3。有必要從兩種儀器分別取出多組軌跡，進(jìn)行平均直到找到吻合之處。在圖1的例子中，采用“真正的均方根”平均功率算法(后面簡(jiǎn)稱(chēng)RMS功率)的儀器，和采用“電壓平均”功率的儀器之間的結(jié)果相差 0.25dB(前者比后者高0.25dB)。這點(diǎn)差異可能會(huì)被簡(jiǎn)單的認(rèn)為是儀器之間的個(gè)體差異。盡管0.25dB看起來(lái)很小，但是當(dāng)要求的精度僅僅是±1dB時(shí)，0.25dB就顯得有點(diǎn)大了。如果是測(cè)量整個(gè)脈沖的平均功率的話(調(diào)制譜測(cè)量的是脈沖50%到90%時(shí)間內(nèi)的功率)，這個(gè)差異會(huì)擴(kuò)大到約 1dB。這個(gè)值就會(huì)接近我們所要求的儀器之間誤差容限了。

“電壓平均”功率代表的是“先平均再平方(mean-squared)”的功率(如公式3)，而“均方功率”則是“先平方再平均(mean- square)”功率。由統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)我們可以得出：兩者的差就是幅度變化。也就是說(shuō)，兩種儀器輸出功率的差值就是幅度變化。而且“均方功率”永遠(yuǎn)大于 “電壓平均功率”(RMS power > average voltage power)。

第二個(gè)關(guān)于功率平均的錯(cuò)誤觀點(diǎn)就是：對(duì)功率求平均總是在線形單位(瓦特)下進(jìn)行的。實(shí)際上很多儀器常常采用對(duì)數(shù)平均。同樣采用上面那個(gè)例子，假設(shè)測(cè)試中噪聲影響很大，為了去除噪聲，決定測(cè)量多組軌跡，對(duì)軌跡求平均。GSM標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，ORFS調(diào)制譜的測(cè)量需要對(duì)200個(gè)脈沖求平均。公式4是對(duì)應(yīng)的計(jì)算公式，其中PTrace i是用公式2或公式3計(jì)算出的單條軌跡的平均值。

當(dāng)然對(duì)這個(gè)功率的線性表達(dá)結(jié)果(單位為瓦特)求平均是合理的，但是很多儀器提供了對(duì)數(shù)平均功能。這個(gè)例子中，以dBm為單位的功率進(jìn)行了平均。例如，求 1和 3dBm的平均值：如果用線性平均結(jié)果為：(1.25mW 2mW)/2=1.62mW= 2.11dBm；但是對(duì)數(shù)平均的結(jié)果為：(1dBm 3dBm)/2=2dBm。因此對(duì)數(shù)平均的結(jié)果會(huì)引入0.11dB的誤差。

需要注意的是，對(duì)數(shù)平均引起的誤差的大小和信號(hào)是否重復(fù)有關(guān)。盡管對(duì)數(shù)平均方法是錯(cuò)誤的，但是對(duì)于重復(fù)信號(hào)，對(duì)數(shù)平均和線性平均的結(jié)果一致。需要注意，這里說(shuō)的重復(fù)信號(hào)指的是每一個(gè)周期，其功率對(duì)時(shí)間關(guān)系是完全一樣的。

必須要牢記：非重復(fù)信號(hào)會(huì)引入誤差，如果不注意，經(jīng)常會(huì)導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)室的測(cè)量數(shù)據(jù)和實(shí)用環(huán)境中的誤差很大。因?yàn)樵趯?shí)驗(yàn)室中，我們通常采用很好的“任意波形發(fā)生器ARB(arbitrary waveform generator)”作為信號(hào)源，這種源通常是把一個(gè)波形不斷的重復(fù)播放。但是實(shí)用環(huán)境中的信號(hào)肯定不是重復(fù)性的。然而，只要不同周期之間的功率差別不是很大，對(duì)數(shù)平均和線性平均的誤差也不會(huì)很大。

另一個(gè)需要注意的是，軌跡平均時(shí)，每次測(cè)得的各條軌跡之間對(duì)應(yīng)的“點(diǎn)和點(diǎn)”的平均算法問(wèn)題。同樣的，信號(hào)的重復(fù)性會(huì)影響對(duì)數(shù)平均引起的誤差。在這里，軌跡上的每一個(gè)點(diǎn)和其他軌跡上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)一起求平均，得出的結(jié)果作為這個(gè)點(diǎn)的平均值。

同樣的，軌跡上的每一個(gè)點(diǎn)和其他軌跡上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(同一個(gè)x軸)一起求平均，得出一條平均的軌跡線。這里x軸對(duì)應(yīng)的是時(shí)間，當(dāng)然對(duì)于頻率也適用。和前面一樣，這里可以采用線性平均或?qū)?shù)平均。這樣對(duì)x軸上每一個(gè)點(diǎn)都做完平均之后就可以得到一條平均軌跡了。如果信號(hào)是重復(fù)的，線性平均和對(duì)數(shù)平均的結(jié)果相同，因?yàn)閤軸上每一個(gè)點(diǎn)的功率在各次測(cè)量的軌跡上是相同的。

當(dāng)被測(cè)信號(hào)不是重復(fù)的結(jié)果如何呢？圖2就是對(duì)20個(gè)不同的EDGE信號(hào)，分別采用對(duì)數(shù)平均和線性平均后的結(jié)果。當(dāng)然兩條曲線會(huì)有差異，而且可以看出對(duì)數(shù)平均的結(jié)果比線性的小。圖3顯示的是兩條曲線每一個(gè)點(diǎn)的差異。注意，正如我們所料，訓(xùn)練序列(譯者注：用于同步和信道估計(jì)的部分，是完全重復(fù)的)部分的軌跡完全重合。

這些差異源于對(duì)數(shù)平均會(huì)放大功率的抖動(dòng)，這個(gè)道理可以通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的例子描述：假設(shè)在某個(gè)特定的時(shí)間點(diǎn)(或者頻點(diǎn))反復(fù)測(cè)量N次功率值，功率在 0dBm和-10dBm之間抖動(dòng)，其中一半的讀數(shù)為0dBm，而另一半為-10dBm，即“峰-峰”差值為10dB。如果用對(duì)數(shù)平均，其結(jié)果為 -5dBm。但是如果用線性平均，要先把0dBm和-10dBm轉(zhuǎn)為瓦特，然后求平均，最后再把瓦特轉(zhuǎn)換為dBm，其結(jié)果是0.55毫瓦，即 -2.6dBm。因此采用對(duì)數(shù)平均的誤差高達(dá)2.4dB。

眾所周知，對(duì)數(shù)單位變化xdB，對(duì)應(yīng)的線性功率變化為10(x/10)倍。因此可以用下面的公式得到正確值，假設(shè)一半的功率讀數(shù)為Mhi，另一半的讀數(shù)比剛才低ΔdB。

注意：隨著Δ增加到無(wú)窮大，10log[(1 10-Δ/10)/2]這一項(xiàng)的數(shù)值趨向于-3dB。也就是說(shuō)，如果兩種功率出現(xiàn)的次數(shù)相等的時(shí)候，較高的功率最多比線性平均功率高3dB。還可以進(jìn)一步把這個(gè)結(jié)果推廣到任意的功率出現(xiàn)比例。

公式6中，r是高功率值(Mhi)出現(xiàn)的比例，當(dāng)Δ趨向于無(wú)窮，平均功率最多比高功率小10log(r)倍。

當(dāng)然，也可以推導(dǎo)出多數(shù)平均的結(jié)果

如果公式7減去公式6，其結(jié)果就是線性平均和對(duì)數(shù)平均的差異(即對(duì)數(shù)平均引入的誤差)

圖4描述的是公式8的結(jié)果(對(duì)數(shù)平均的誤差)隨著Δ變化的關(guān)系，其中r是參變量。這張圖的Δ只算到20dB，因?yàn)橐话阈盘?hào)的峰均比都不會(huì)超過(guò)這個(gè)值。

作為檢驗(yàn)，有必要參考一下實(shí)際測(cè)試的數(shù)據(jù)(參見(jiàn)圖3)。這幅圖中有兩個(gè)點(diǎn)被標(biāo)出，一個(gè)是差異較大的點(diǎn)(差別大于3.5dB，T=115μs))，另一個(gè)是差異很小的點(diǎn)(約0.25dB，T=75μs)。根據(jù)前面的討論，很容易理解在“功率對(duì)時(shí)間”的圖形中，這些點(diǎn)的位置肯定不一樣，誤差大的點(diǎn)的擺幅比較大，而誤差小的點(diǎn)的擺幅也相應(yīng)的很小。這可以從圖5中看出。

圖5中，在T=115μs的這個(gè)點(diǎn)的擺幅高達(dá)約15dB，而在T=75μs的這個(gè)點(diǎn)，擺幅約5dB。假設(shè)高、低功率出現(xiàn)的次數(shù)相同(即 r=0.5)，這T=115μs的這個(gè)點(diǎn)的擺幅約4.5dB，而T=75μs的這個(gè)點(diǎn)，擺幅約0.5dB(參見(jiàn)圖4和公式8)。上述數(shù)字比實(shí)測(cè)的 3.5dB和0.25dB,要高一些，因?yàn)閳D4所示的是最壞情況(即只有兩種功率讀數(shù)，且出現(xiàn)機(jī)率相同)，由于實(shí)際情況下，不止只有兩種功率讀數(shù)，所以實(shí)際結(jié)果要略小一些。

總而言之，工程師應(yīng)該記住并不是所有的頻譜分析儀輸出的平均功率結(jié)果都是正確的。而且其誤差的程度和被測(cè)信號(hào)有關(guān)，因此必須注意以下事項(xiàng)：

* 了解頻譜分析儀計(jì)算平均功率的方法是RMS方法還是“電壓平均”方法
* 功率應(yīng)該在線性單位(瓦特)下進(jìn)行平均，但是有些儀器會(huì)提供對(duì)數(shù)平均
* 重復(fù)信號(hào)對(duì)于理解對(duì)數(shù)平均的誤差可能有誤導(dǎo)作用。其結(jié)果要么是固定誤差(例如RMS功率和電壓平均功的誤差為恒定值)，要么就沒(méi)有誤差(例如對(duì)數(shù)平均和線性平均的結(jié)果相同)

不同的平均方法導(dǎo)致的誤差可能到達(dá)1dB以上。理解儀器如何平均的的最好方法是，取出幾條軌跡的數(shù)值，手工(編程)求其平均值，判斷儀器輸出結(jié)果是否和手工計(jì)算的相同。盡管這項(xiàng)工作比較麻煩，但是對(duì)于高精度的功率測(cè)量來(lái)說(shuō)，這個(gè)工作還是有必要的。