在工程實際中，很多問題都可轉化為函數優化問題，而對于高維、非凸、且有多個局部極值點的函數優化問題，傳統的基于梯度的算法通常不能求得理想解。免疫系統作為一種分布式自學習系統，能自適應地維持群體多樣性及具有自我調節功能，導致基于免疫機制的算法具有整體、局部搜索能力強的特點，使得這類算法在函數優化、組合優化、模式識別、數據挖掘及機器學習等方面得到了有效應用。
1 免疫算法原理
　　免疫算法的靈感來自生物獲得性免疫的克隆選擇原理^[1]。根據該原理，在生物免疫系統中，一旦病原體侵入肌體就被分解為抗原片段，B淋巴細胞能夠為產生相應的抗體與抗原結合，同時活化、增殖和分化，產生漿細胞，通過中和、溶解和調理等作用,最終使抗原從體內清除。另有一些B 細胞變成了長期存活的記憶細胞，它通過血液、淋巴和組織液循環，為下一次快速、高效的消除相同或者類似抗原引起的感染奠定了基礎。
　　免疫算法采用高變異克隆的單性繁殖搜索方式，避免了遺傳算法中的交叉操作引起的模式干擾，同時具有未被激發的細胞消亡及記憶細胞的產生等過程又保證了抗體的多樣性。
2 算法描述
　　克隆選擇算法模擬生物免疫系統的克隆選擇原理^[2]，一般將待優化的目標函數及其約束條件視為抗原，其算法步驟如下：
　　(1)初始化：隨機產生N個二進制編碼的抗體對應問題的可能解。
　　(2)評價和選擇1：將N個抗體分解成由m和r個抗體組成的兩部分Am，Ar，分別表示進入記憶集的抗體和剩下的部分，其中進入記憶集的都是親和度較高的抗體。
　　(3)克隆：在親和度最高的抗體中選擇k個進行克隆，克隆的數量與其親和度成正比。
　　(4)變異：模擬生物克隆選擇中的超變異過程，對克隆后的抗體執行變異操作，變異按某一變異概率以一定規模隨機進行。
　　(5)評價和選擇2：重新計算變異后的抗體的親和度，若克隆變異后的抗體中親和度最高的抗體比父代抗體的親和度還要高，就用該抗體替換原抗體，形成新的記憶集。
　　(6)消亡：模擬生物克隆選擇中5%的B細胞自然消亡的過程，在Ar中選擇d個親和度最低的抗體重新初始化，以保證抗體的多樣性。
　　(7)檢查是否滿足終止條件，若是，則終止，否則轉到(2)，進入下一次迭代。
　　通過分析不難發現，在CLONAL算法中，所有個體都是二進制編碼，計算時需要將十進制數轉化為二進制數，最后又必須將二進制數再轉化為十進制數；而且對于多維函數的優化，二進制編碼面臨“維數災”問題；其次，二進制的位數也限制了求解的精度，要求得高精度的解，勢必大幅提高二進制編碼的位數，也給計算帶來了麻煩；另外，在CLONAL算法中，變異率是一個定值^[3]，抗體按這個變異率產生一定規模的隨機變異，這樣雖擴大了搜索空間" title="搜索空間">搜索空間，增加了抗體的多樣性，同時也可能破壞親和度高的抗體，打亂抗體的結構，降低收斂速度。文獻^[4]提出一種改進免疫克隆" title="免疫克隆">免疫克隆多樣性算法，采用實數編碼，但它采用變異整個抗體群的方式進行變異，沒有保持上代中親和度高的抗體的優勢。文獻^[5]結合小生境技術，提出一種新的免疫算法，但該算法沒有克隆操作，雖提高了收斂速度，但限制了搜索空間。
　　本文提出了一種改進的克隆選擇算法，該算法采用實數編碼，并引入自適應變異算子，根據抗體的親和度調整變異步長。仿真實驗說明該算法收斂速度快，運算簡單、易于實現。
3 算法改進
　　在改進的函數優化免疫算法中，以實數編碼的候選解作為抗體，將目標函數和約束條件視為抗原，將親和度高的抗體按與其親和度成正比進行克隆，并引入自適應變異算子，與親和度成反比進行變異，使變異程度隨著親和度的提高逐步減小，促使抗體的穩定收斂；同時親和度低的抗體按一定比例重新初始化，以保證多樣性。算法步驟如下：
　　(1)隨機初始化種群，種群大小為N，抗體采用實數編碼；
　　(2)根據目標函數計算所有抗體的親和度；
　　(3)若達到結束條件，算法終止；
　　(4)選出部分親和度高的進入記憶Am，剩下的抗體記為Ar；
　　(5)在Am中選出親和度最高的k個抗體進行克隆得到克隆抗體群Ab；
　　(6)根據抗體的親和度計算每個抗體的變異率，并按該變異率進行變異，得到變異抗體群Ac；
　　(7)重新計算Ac中每個抗體的親和度，在Ac中選出親和度高的抗體，并用它們調整記憶集；
　　(8)在抗體的記憶集之外取得d個親和度最低的抗體運用消亡算子予以拋棄，將其重新初始化，形成新的免疫網絡；
　　(9)回到(2)。
3.1 克隆變異
　　算法中主要的免疫操作包括了克隆和變異。
　　克隆是拷貝抗體編碼模式的過程，假設父代抗體為X=[x₁，x₂，……x_n]^T，則克隆后產生的子代抗體為X′=I_i×X，I_i是NC_i維行向量。而NC_i就決定了抗體克隆的數量，在這里NC_i可由下式得到：
　　
　　β∈(0，1)是克隆常數，N是種群規模，將要克隆的抗體按親和度排序，i是其序號，其結果是親和度越高的抗體克隆的數量越多。
　　變異的目的是使子代抗體的編碼發生變化，以期得到優于父代的更好的解。由于算法中的抗體采用實數編碼，因此原來的變異方法不再適用，而是采取了高斯變異的方式，并且變異并不作用到原始種群。
　　為了能在親和度高的抗體周圍集中搜索，同時又保證抗體的多樣性，本文引入了一種自適應變異算子，即對每一個變異算子作用到的個體分量：
　　x_i′=x_i+N_mi*N(0，1)　　　　　　　　(2)
　　其中N(0，1)是一個服從標準高斯分布的隨機數；而N_mi則對應抗體的變異率，不失一般性，對求解最小值的問題：
　　
　　顯然，抗體的變異率是與其親和度成反比的，親和度越高變異率越小，抗體在每次迭代過程中根據親和度自適應的調整變異步長，使得在親和度高的抗體周圍集中搜索以提高收斂速度，同時保持種群的多樣性。ρ為變異常數，用來調整變異強度，與搜索的空間大小和種群規模相關。
3.2 調整免疫網絡
　　與遺傳算法相比，免疫算法的一大特點就是其具有記憶性，從新的抗體群中選出優勢個體，排除退化個體的過程就是重新生成免疫網絡的過程。
　　經過克隆和變異后，若存在新抗體ρ=min{f(x_ij)|j=1，2，……n}，使得f(p)i)則用p取代其父抗體x_i，更新抗體群。
　　而對于那些退化的個體，即親和度最低的一部分抗體，則通過重新初始化的方法使其消亡，以保持種群的多樣性。
4 仿真實驗
　　為測試算法性能采用了以下3個典型測試函數：

　　f₃是Rosenbrock函數，非凸、病態函數，在x_i=1時達到極小值點。
　　初始種群大小為100，維數為20，最大截止代數為400的情況下，改進的克隆選擇算法(表1中顯示為ACLONALG)連續10次實驗的結果與CLONALG算法比較見表1。

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