0 引言

    隨著科學技術的不斷發展，大量的非線性負載和電力電子設備被應用在工業生產和日常生活中，這提高了生產效率，促進了生活便利，但同時也對電網造成了巨大的諧波污染。另一方面，隨著新能源在電力系統中的迅速發展，各種分布式的電源也相繼產生，比如太陽能發電、風力發電以及地熱能等，這些新能源的發電設備并網運行時，同樣也給電力系統帶來了一系列諧波污染，因此諧波污染治理也越發重要^[1]。諧波污染治理的性能很大程度上又受到諧波檢測環節的影響，這就要求諧波檢測過程必須要具備兩個特點：實時性強、準確度高^[2]。電力系統中常用的諧波檢測的方法主要有傅里葉變換^[3]、小波變換^[4]和希爾伯特-黃變換^[5]等。在治理諧波污染時性能表現不佳，分別體現在易產生頻譜泄漏和柵欄效應、算法計算量過大和不具有自適應性以及容易產生模態混疊效應和負頻率。

    近年來，Prony算法因其具有高頻率分辨率和高頻率估計精度，在電力系統中獲得了越來越多的關注。但是，Prony算法對于噪聲較為敏感，易受噪聲信號的影響。電網系統中包含著大量的高斯噪聲，因此如何能夠降低噪聲對模型辨識的影響成為了一個難點。文獻[6]提出了Prony算法與小波分析相結合的方法，先通過小波函數對擾動信號進行分解，然后利用改進的Prony算法對穩態擾動問題進行參數辨識，雖然提高了辨識精度，但是該算法過于依賴對小波基的選擇，濾波效果并不理想。文獻[7]提出了將SVD濾波技術與Prony算法相結合的方法，該方法利用SVD的特性濾除噪聲信號，其次利用Prony算法對信號進行處理，但是SVD濾波處理過程中太過依賴奇異值有效階次的判斷，同樣不具備自適應性。

    本文在前人研究的基礎上，提出了一種基于SVD的改進濾波算法，能夠精確地找到電網信號中諧波及間諧波信號分量的階次，同時濾除電網信號中的噪聲信號，只留下“純凈的”電網信號。根據濾波后的電網信號以及諧波及間諧波信號階數，利用一種改進的Prony算法，結合線性神經網絡，計算出信號的頻率、相位和幅值。研究結果表明，算法對于諧波信號的檢測精確度極高，同時由于所需的采樣數據長度小，實時性也較強，能夠很好地滿足實時性和準確度的要求。

1 電網信號模型

    電網信號主要包含基波各次諧波、間諧波以及各種噪聲信號，因此可以通過以下數學表達式來建立模型：

式中，w_i=2πf_i，p為諧波和間諧波個數，A_i、f_i、θ_i分別表示第i個諧波或間諧波信號的幅值、頻率和相位，而ω(n)則表示電網系統中的噪聲信號。

    根據電網的特性，除了基波分量以外，奇次諧波分量對電網的影響所占權重較大，本文主要選取了奇次諧波中影響較大的3次、5次以及7次諧波作為電網信號的模型^[8]；間諧波主要存在于諧波附近，易受諧波信號影響。因此，本文基于諧波信號選擇了3個間諧波信號。諧波檢測算法的作用是對式(1)的正弦信號進行參數辨識，得到各個諧波和間諧波信號的特性參數，本文所提算法正是基于此電網信號模型。

2 算法實現

2.1 基于SVD的改進濾波算法

    電網信號模型為x(i)=s(i)+w(i)(i=1，2，…，N)。將接收到的電能信號序列x=[x₁，x₂，…，x_N]構造成如下的Hankel矩陣的形式：

其中，當N為偶數時，n=N/2，m=N/2+1；當N為奇數時n=(N+1)/2，m=(n+1)/2。

完成對信號序列的Hankel矩陣X的構造以后，對X進行奇異值分解，可得到：

    信號的完備空間可以劃分為信號子空間和噪聲子空間，并且它們之間相互正交。在奇異值分解理論中，奇異值的前k個值對應著信號子空間分量，后q-k個奇異值則對應著噪聲子空間分量。因此，稱k為信號的有效階次。

    信號分解的奇異值序列的分布具有其特點：在有效階次k之前，奇異值內部差異都相對較小，變化也比較平緩；而在第k+1個奇異值處，奇異值序列出現明顯的階躍式下降；之后奇異值序列的變化再次趨于平緩，不存在明顯波動^[9]。如果將獲得的奇異值序列看作一個信號序列，根據奇異值序列的這種特性尋找到相應的突變點作為奇異點，那么這個突變點的位置就是原信號中有效階次。

    對于電網信號來說，在確定有效階次為k后，如果k的值過小，雖然大部分噪聲信號都被濾除，但是大量的電能信號也已丟失；如果k的值過大，電能信號雖保持完整，但是噪聲信號未能得到很好的濾除，干擾仍較大。因此，如何更好地確定有效階次對于濾波的效果至關重要。本文在結合對電網信號的特性分析以及奇異值分解理論后，提出一種奇異點輔助算法，根據奇異值增長率的變化，確定奇異值突變點，輔助確定奇異值的有效階次。奇異值增長率公式為：

式中，σ_i為第i個奇異值，η_i為第i+1個奇異值同比上一個奇異值的下降率。通過對η_i大小的比較，選擇η_i最大的i處作為奇異點位置。

    對矩陣X進行奇異值分解之后，利用式(6)對信號進行重構：

2.2 改進的Prony-ADALINE算法

    Prony算法是一種使用指數函數的線性組合來描述等間距采樣數據的理論，可以用來估計有理式功率譜密度^[10]。傳統的算法采用的數學模型為p個具有任意幅值、相位、頻率與衰減因子的指數函數，本文的信號為正弦信號，因此，采樣Prony譜線估計算法^[11]，其數學模型為p個實的、無衰減的正弦信號。

2.2.1 Prony譜線估計算法

    Prony譜線估計算法的數學模型用離散時間的函數表示為：

    本文改進的算法主要包括以下步驟：

    (1)定義樣本函數(10)，根據濾波處理后的信號以及得到的信號的有效階次k(即特征多項式中2p=k)，利用樣本函數構建樣本矩陣，并通過樣本矩陣構建法方程(11)：

2.2.2 ADALINE神經網絡算法

    ADALINE神經網絡是一種結構較為簡單的神經網絡模型，現在已經廣泛應用于自適應信號處理領域，對于電網信號中的諧波和間諧波信號分析也同樣適用。ADALINE神經網絡算法和其他神經網絡相比，它的最大優勢就是不需要事先對神經網絡進行大量訓練，同時它還具有分析精度高、收斂速度快這一突出特點，因此可以做到對電網信號中的諧波和間諧波信號成分的實時分析。

    根據三角函數的特點，對式(8)進行三角恒等變換，得到式(13)：

    基于ADALINE模型的檢測原理圖如圖1所示，分為輸入層、求和層和輸出層。其中輸入信號X(n)= [ cos(2πf₁n)，sin(2πf₁n)，…，cos(2πf_pn)，sin(2πf_pn)]，輸入神經元數即等于有效階次2p。對應的權系數為W(n)=[a₁，b₁，…，a_p，b_p]^T。輸入信號與權系數相乘，經過求和層，得到單個的輸出向量y(n)。權值更新算法自動更新權系數W(n)，使之不斷收斂到穩態階段，這時的權系數即為逼近式(13)中的系數，實現諧波及間諧波的幅值、相位檢測。

    該神經網絡結構的基本特點可總結為如下三個方面：

    (1)可以根據變化著的輸入和目標輸出實現實時在線訓練；

    (2)應用自適應在線算法調整各權值大小；

    (3)結構簡單，便于硬件實現。

3 仿真分析

    實際電網中，電網信號相對比較復雜，包含了眾多的諧波、間諧波以及噪聲信號等。本節主要對電網電壓信號進行仿真并分析，建立的信號模型的表達式如式(14)所示，通過利用MATLAB軟件對信號進行仿真分析，用以分析和驗證本文所提算法應用在諧波檢測的性能。

式中，ω(t)為加在諧波信號上的噪聲，信噪比為30 dB，各個諧波以及間諧波的具體參數如表1所示。本次信號采樣點個數為400，采樣頻率為1 500 Hz，采樣時間為0.27 s。

3.1 濾波算法性能分析

    對于采樣的電網信號，根據式(2)構造Hankel矩陣X，對其進行奇異值分解，得到奇異值序列σ。根據本文提出的奇異值輔助算法，通過對奇異值序列的運算，得到如圖2所示的奇異值增長率曲線。

    圖2中橫坐標表示的為奇異值序列，縱坐標為根據輔助算法計算出的奇異值增長率。由圖2可知，奇異值增長率在橫坐標為0～14區間變化較大；在超過14后，增長率降低，接近于0，變化趨于穩定。這是因為各次諧波分量的能量差距較大導致。增長率在奇異值序列為2時達到80%以上，是由于基頻信號與其他諧波成分能量相差過大。當奇異值序列取值為14時，此時的增長率接近于1，達到最大值。對比數據可知，該處即為有效階次，通過該輔助算法確定的有效階次與實際的完全一致。

    根據已經得到的奇異值的有效階次，對信號進行SVD濾波處理，濾波結果如圖3所示。圖3中分別是未加噪聲的原始諧波信號、加噪聲的諧波信號以及SVD濾波后的諧波信號的局部波形圖。

    從圖3中原始信號、包含噪聲信號以及濾波后信號的對比可看出，濾波后的信號波形幾乎與原始信號完全重合。這是因為本文提出的算法能夠準確地確定信號的有效階次，進而能夠有效濾除噪聲成分，降低噪聲對諧波檢測算法影響的同時，又沒有損失信號中的有效成分，為Prony譜線估計算法提供了一個“純凈”的電能信號。

3.2 諧波檢測算法性能分析

    為了驗證本文方法的有效性，通過采樣本文所提算法與文獻[12]中的數學形態學+改進Prony算法進行對比，其中，算法1為本文算法，算法2為文獻中所提算法。兩種算法對于信號特性參數中頻率的估計結果如表2所示，對于幅值和相位特性參數的估計則通過圖4以相對誤差的形式給出。

    表2是兩種算法對于電網信號對頻率估計的計算數值結果，兩種算法對于諧波分量的頻率估計誤差已經很小，接近實際頻率值，估計精確度極高。其中在對于間諧波分量的頻率進行計算時發現，算法2在對于1.3次間諧波的頻率進行計算時，計算值與實際參數值相差0.093 4 Hz，而算法1的計算值與實際參數值誤差則僅為0.000 8 Hz，在3.3次間諧波分量處算法2的計算誤差同樣遠大于算法1，而在6.4次間諧波處兩種算法的計算誤差逐漸降低，趨于平緩。

    圖4表示的是兩種算法對于幅值和相位這兩個參數計算數值的相對誤差。由圖可知，算法1對于幅值的計算在1.3以及3.3次諧波處的相對誤差遠小于算法2的相對誤差，且計算結果滿足文獻[13]中規定的A類測量儀器要求的相對誤差小于5%。在對于相位計算過程中，算法1計算的相對誤差最高也僅為1.5%，檢測精確度比算法2更高。

4 結論

    本文針對Prony算法對噪聲信號敏感的問題，提出了一種基于SVD改進算法。采用了自適應的輔助算法幫助奇異值序列找到有效階次，替代了傳統的奇異值曲線以及奇異熵增量等經驗性的方法，更好地濾除噪聲信號。同時，基于有效階次，將SVD更好地與Prony算法結合在一起，使用簡單的線性方程組的求解去替代最小二乘法，降低了算法運算量。在此基礎上進行仿真驗證，仿真結果表明該方法準確、有效，具有一定的工程應用價值。

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作者信息:

應  俊1，2，朱云鵬1，2，賀  超2

(1.重慶郵電大學 光電工程學院，重慶400065；2.重慶郵電大學 光通信與網絡重點實驗室，重慶400065)