馬亞男，戴爾晗，陳誠

　　（南京郵電大學自動化學院，江蘇 南京 210023）

　　摘要：電力系統的頻率測量在工業和生活中有很重要的作用，提高頻率的測量精度至關重要。生活中常見的信號都帶有很多噪聲，測量時因為噪聲影響結果往往存在很大的誤差，所以測量頻率的關鍵就是減少噪聲帶來的誤差影響。采用自相關法可以有效地去噪聲，再通過改進的三點法進一步測量信號頻率，可大大提高信號測量的精度。

　　關鍵詞：頻率測量；去噪聲；自相關法；三點法

0引言

　　電力系統信號頻率的檢測，從噪聲角度看，有兩種：添加噪聲和濾除噪聲。添加噪聲的具體方法是采用非線性系統的隨機共振理論，它的優點是計算量小，檢測信號頻率的速度快，但是僅限于對信號進行定性分析。而濾除噪聲的方法有很多種，其中非常有效的就是采用自相關法濾除噪聲，該方法可在信號頻率未知的情況下濾除高次諧波噪聲，突出基波頻率成分，能夠有效提高測量精度，減少噪聲帶來的影響。

　　近年來，三點法在頻率檢測中得到廣泛應用，它的主要優勢是原理簡單，計算量小，頻率跟蹤性強且不受采樣頻率的影響，在同步采樣和非同步采樣中都可以運用三點法來檢測信號頻率。將三點法與自相關法結合來檢測信號頻率是本文所述主要算法，本文通過MATLAB仿真證明了該算法的可行性。

1自相關法理論

　　自相關函數對于檢測周期信號有很好的適用性，日常運用中可以用自相關函數來檢測含有噪聲的信號基波頻率。利用自相關函數可以突出基波頻率成分，濾除高諧波噪聲。下面說明自相關理論在頻率檢測中的應用原理。

　　設信號序列s(n)為周期信號，周期為N，則其自相關函數［1］定義為：

　　若s(n)=sin(ωn)，周期為N，ω=2π/n，則s(n)的自相關函數為：

　　由式(2)可以看出Rs（m）也是周期信號，且與s(n)的周期一致，故Rs（m）的周期也為N。而Rs（m）與s(n)的初相位無關，故自相關函數與采樣時刻無關。

　　上述為自相關理論原理，以下將其具體應用到待測的信號中。

　　設周期信號S(t)為交流正弦信號［2］且沒有直流分量，則信號只由基波和高次諧波兩部分組成，假設最高次諧波為L次，根據采樣定理對S(t)進行采樣，s(n)為采樣信號，公式如下：

　　式中Φl是信號的初相位。

　　設s(n)一個基本周期內的采樣點數為N，則s(n)的自相關函數為：

　　從式(3)可以看出Rx(m)的諧波分量與s(n)的諧波分量相同，但振幅會發生變化，除去1/2系數的影響，Al=1時，Al2=1，故振幅不變；當Al>1時，幅度指數成指數增長；Al<1時，幅度指數呈指數減少。所以，信號自相關后，幅度最大的頻率成分會突顯出來，衰減了幅度較小的頻率成分。而在電力信號中，基波［3］的成分最大，所以信號自相關后更加突出了信號的基波成分，可大大提高測量的精度。

　　下面介紹下含有噪聲的信號的自相關函數：

　　假設S(n)=s(n)+f(n)，其中S(n)表示實際的周期信號，s(n)表示理想的周期信號，f(n)表示隨機的噪聲。設理想周期信號s(n)的周期等于N，長度是M，且M>>N,則S(n)的自相關函數由下式所示：

　　實際情況下在信號中檢測到的噪聲都是隨機［4］的。從理論上說式（5）兩項的值都應該是零，而在實際上這兩項的值也是很小的值，式（5）中的Rf(m)是隨機噪聲的自相關函數，它主要集中在m=0的位置，故自相關函數除了m=0點外其他成分主要是Rs(m)。以上說明了夾雜噪聲的信號通過自相關后，只有在m=0的時候才會有噪聲的頻率成分，其他情況下信號自相關函數就是理想信號的自相關函數，故信號自相關函數的基波頻率就是理想信號的自相關函數的基波頻率。由式（1）可得，信號自相關函數的基波頻率就是s(n)的基波頻率。由此可以看出信號自相關后，有效濾除了基波頻率夾雜的噪聲給測量帶來的影響，提高了測量精度。

2三點法檢測頻率

　　三點法檢測頻率［5］的推導過程如下。

　　若待測電壓信號為：

　　s（t）=Usin(ωt-φ)

　　其中ω=2πf，f為信號的待測頻率。采樣頻率為fs，從而對s(t)進行采樣并將s(t)改寫為s(t)=Usinα，那么，α=ωt-φ。

　　在由采樣頻率fs采樣得到的采樣序列中，等時間間隔地選取了3個采樣點ui、ui-m、ui-2m。為了區分這3個采樣點和其他采樣點，把ui、ui-m、ui-2m稱之為檢測點。由此可得m/fs即為檢測點之間的時間間隔［6］。若η=ωm/f=2πmf/fs，則有f=ηfs/(2πm)。

　　ui、ui-m、ui-2m可轉換為ui=Usinα，ui-m=Usin(α-η)，ui-2m=Usin(α-2η)。根據三角變換：

　　ui+ui-2m=U［sinα+sin（α-2η）］=2Usin(α-η)cosη=2ui-mcosη

　　所以有：

　　η=arccos((ui+ui-2m)/2ui-m)fs(2πm)(6)

　　由式(6)可知其中ui-m不可以是0，否則式(6)沒有意義。

　　對于檢測正弦信號基波［7］頻率來說，三點法具有較高的快速性和精確度，但是信號中的諧波分量會使算法大大降低精確度［8］。因此，在測量信號的頻率之前，應當利用自相關法過零掉諧波分量，提取出信號的基波頻率成分。圖1算法程序框圖

3算法程序及仿真

　　程序框圖如圖1所示。

　　設待測信號為：

　　其中ω=2πf，N（t）為信號中夾雜的隨機白噪聲。下面以80 Hz的頻率為例，設采樣頻率為3 200 Hz，進行仿真,結果如圖2、圖3所示。　

　　由圖2和圖3的對比可以看出，信號自相關后除了0點處含有高次諧波外，其他都過濾掉了高次諧波，提取出了基波分量。且已知自相關函數的周期［9］與待測信號的基波周期一致，故可以用三點法直接運用到自相關函數中，有效測量信號的基波頻率。設m=5,10,15,30，分別計算信號頻率。以m=10為例，設t=20，計算頻率如下：

　　ui=40sin(wt-π4)，ui-10=40sin(wt-π4-η),ui-20=40sin(wt-π4-2ri),其中ui、ui-m、ui-2m點的值都是已知的，由η=arccos((ui+ui-2m)/2ui-m)fs/(2πm)可得η。由η與信號基波頻率f的關系式f=ηfs/(2πm),可求出f。

4結論

　　通常情況下，自相關法可用于測量信號的基波頻率。由于信號自相關后的函數與信號基波頻率一致，且自相關后的波形更加突出了基波成分，濾除了高次諧波和噪聲的影響，使得曲線更加光滑，然后再用三點法求出基波頻率。比起直接三點法測量頻率，先自相關然后再用三點法測量頻率可以提高基波頻率的精確度［10］ ，減小誤差。這種方法需要較少的硬件電路，信號自相關后減少了測量的計算次數，減少了計算時間，提高了測量速度，有利于實時檢測。但是自相關后的信號在0點仍然會夾雜著高次諧波，故采用三點法測量頻率時一定要注意0點處的特殊性。

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