劉清華，楊桂芹，張妍妮

　　（蘭州交通大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

　　摘要：隨著數(shù)據(jù)采集能力和采樣頻率的不斷提高，采用傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理會(huì)獲得海量的數(shù)據(jù)，這給信號(hào)的存儲(chǔ)和傳遞帶來(lái)了極大挑戰(zhàn)。提出基于稀疏快速傅里葉變換的信號(hào)壓縮方法，利用信號(hào)在頻域的稀疏性，壓縮信號(hào)所需的存儲(chǔ)空間，在保證擁有足夠小的誤碼率的前提下，以高概率重構(gòu)原始信號(hào)。

　　關(guān)鍵詞：稀疏快速傅里葉變換；信號(hào)壓縮；重構(gòu)

0引言

　　傳統(tǒng)的信號(hào)離散化基本依據(jù)——奈奎斯特采樣定理認(rèn)為，在進(jìn)行模擬/數(shù)字信號(hào)的轉(zhuǎn)換過(guò)程中，當(dāng)采樣頻率大于信號(hào)中最高頻率的2倍時(shí)，采樣之后的數(shù)字信號(hào)完整地保留了原始信號(hào)中的信息，而實(shí)際應(yīng)用中一般需要5～10倍才能達(dá)到理想的效果。然而，近十幾年傳感系統(tǒng)獲取數(shù)據(jù)的能力不斷增強(qiáng)，采樣頻率越來(lái)越高，需要處理的數(shù)據(jù)量也不斷增多，這就給信號(hào)處理的能力提出了更高的要求。

　　2012年，麻省理工學(xué)院（Massachusetts Institute of Technology, MIT）的4位研究員提出了一種新的信號(hào)處理算法——稀疏快速傅里葉變換（Sparse Fast Fourier Transform，SFFT）［12］。它通過(guò)利用信號(hào)頻域的稀疏特性，以與信號(hào)長(zhǎng)度成亞線性關(guān)系的時(shí)間復(fù)雜度及高概率重構(gòu)出信號(hào)完整頻譜，其效率是傳統(tǒng)快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform, FFT）算法的10～100倍。

1稀疏快速傅里葉變換理論

　　離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform, DFT）作為一種重要的變換手段被廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理、通信、音頻/圖片/視頻的壓縮等領(lǐng)域。FFT作為實(shí)現(xiàn)DFT變換最快速的方法而被廣泛使用，對(duì)n維信號(hào)的FFT時(shí)間復(fù)雜度為O(nlogn)。

　　但在實(shí)際應(yīng)用中，大部分的傅里葉系數(shù)很小或者等于0，只有少部分的系數(shù)是不可忽略的，而這少部分系數(shù)正是信號(hào)恢復(fù)中必不可少頻率值。如果對(duì)信號(hào)不假思索地使用FFT處理，那么就會(huì)花費(fèi)大量的運(yùn)算時(shí)間在并不關(guān)心的零頻點(diǎn)上。

　　對(duì)n維離散信號(hào)，參考文獻(xiàn)［2］中指出：

　　（1）若信號(hào)為精確k稀疏信號(hào)，則SFFT的時(shí)間復(fù)雜度為O(klogn)；

　　（2）若信號(hào)為一般信號(hào)，則SFFT的時(shí)間復(fù)雜度為O(klognlog(n/k))。

　　對(duì)于任意k∈Rn，兩種情況都比FFT要快。

　　1.1SFFT理論框架

　　圖1SFFT理論框圖SFFT是利用信號(hào)頻譜的稀疏性來(lái)降低DFT運(yùn)算的復(fù)雜度的算法，其理論框圖如圖1所示。SFFT算法是將數(shù)量為n的信號(hào)頻率系數(shù)按規(guī)律H投入B個(gè)“筐”中。因?yàn)樾盘?hào)在頻域是稀疏的，所以每個(gè)框中很高的概率只會(huì)分得一個(gè)大系數(shù)。如此便將長(zhǎng)度為n的信號(hào)轉(zhuǎn)換成了長(zhǎng)度為B的信號(hào)了，且Bn。對(duì)變換后的信號(hào)做B點(diǎn)FFT。最后設(shè)計(jì)重構(gòu)算法H－1恢復(fù)出大頻率系數(shù)的位置和幅值，從而得到原始信號(hào)的頻譜。

　　1.2SFFT相關(guān)數(shù)學(xué)符號(hào)

　　設(shè)信號(hào)x∈Cn，其中n為信號(hào)的長(zhǎng)度且n=2a（a為正整數(shù)），信號(hào)x的傅里葉頻譜為。k表示信號(hào)稀疏度。x*y表示x與y的卷積，x·y表示x與y的乘積，即有x·y=*。supp(x)表示x的一個(gè)支撐集，即x非零坐標(biāo)的集合。本文定義ω=e2πi/n。

　　1.3頻譜重排

　　參考文獻(xiàn)［3］中指出，信號(hào)在時(shí)域的二次采樣會(huì)引起頻域的頻譜混疊。因此，可以通過(guò)時(shí)域的二次采樣達(dá)到頻譜重排的效果，從而降低頻譜長(zhǎng)度。設(shè)傳遞函數(shù)為Pσ,τ，其中σ為奇數(shù)且對(duì)n的取模運(yùn)算可逆，整數(shù)τ∈［n］。可得

　　故，換元得到時(shí)域重排后引起頻域變化的公式為：

　　參考文獻(xiàn)［1］指出，如果j≠0，n為2的整數(shù)次冪，且σ∈［n］是一個(gè)均勻隨機(jī)奇數(shù)時(shí)，則大傅里葉系數(shù)落在同一個(gè)“筐”中的概率為：

　　P{σj∈［－C,C］}≤4C/n

　　如果n不是2的整數(shù)次冪，就在信號(hào)后邊添加若干個(gè)0，使其長(zhǎng)度為2的整數(shù)次冪。

　　1.4平滑濾波器

　　數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域擁有多種類(lèi)型的濾波器，濾波器可以將感興趣的部分從原始信號(hào)中分離出來(lái)，進(jìn)而進(jìn)行特殊處理。在SFFT算法中需要一個(gè)時(shí)域和頻域的能量都集中且其通帶和阻帶紋波較小的濾波器。滿足上述要求的首推理想低通濾波器，但在實(shí)際中理想低通濾器無(wú)法實(shí)現(xiàn)，通常通過(guò)截?cái)嗖⒕矸e其他窗函數(shù)而實(shí)現(xiàn)。時(shí)域的Sinc(·)函數(shù)其頻域?yàn)榫匦未昂瘮?shù)，截?cái)嗪笥捎谄鋾r(shí)域的不連續(xù)性導(dǎo)致截?cái)嗪蟮念l域響應(yīng)在通帶和阻帶出現(xiàn)了明顯的紋波。參考文獻(xiàn)［4］指出，凱澤窗和道爾夫切比雪夫窗可以控制通帶和阻帶的紋波。因此，本文的平滑濾波器采用截?cái)嗪蟮腟inc(·)與道爾夫切比雪夫窗卷積的方式實(shí)現(xiàn)。以下給出具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程。

　　定義：設(shè)F(ε,δ,w)∈Rn為定義域內(nèi)的一組對(duì)稱(chēng)序列，若F滿足：

　　則稱(chēng)F為標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)。

　　參考文獻(xiàn)［1］指出，對(duì)于任意給定阻帶截?cái)嘁蜃应藕驼鹗幖y波δ，總可以構(gòu)造出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù):

　　但是，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)只規(guī)定了阻帶特性，在通帶內(nèi)仍然有較大的紋波，影響算法效率。

　　定義：設(shè)F(ε,ε′,δ,w)∈Rn為定義域內(nèi)的一組對(duì)稱(chēng)序列，若F滿足:

　　則稱(chēng)F為平滑窗函數(shù)，其中ε′為通帶截?cái)嘁蜃樱渌?hào)與公式（3）相同。

　　本文采用道爾夫切比雪夫窗與矩形窗函數(shù)卷積生成平滑濾波器，用符號(hào)G表示。當(dāng)然用凱澤窗代替道爾夫切比雪夫窗也可以實(shí)現(xiàn)平滑濾波器，這里不再贅述。

　　將時(shí)域重排的信號(hào)通過(guò)平滑濾波器，生成函數(shù)y=G·(Pσ,τx)，所以：

　　yi=Gixσi+τ，supp(y)supp(G)=［w］（5）

　　由平滑濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程可知，只需要確定信號(hào)長(zhǎng)度n和稀疏度k便可構(gòu)造出平滑濾波器，這與信號(hào)具體內(nèi)容無(wú)關(guān)。所以濾波器的設(shè)計(jì)可以在算法執(zhí)行前的預(yù)處理階段完成，這樣不僅降低了算法的運(yùn)算量，同時(shí)不必將濾波器數(shù)據(jù)傳輸?shù)浇邮斩耍岣吡藬?shù)據(jù)壓縮比。

　　1.5頻域降采樣

　　由公式（5）知信號(hào)y∈Cw，設(shè)“筐”的數(shù)量為B，且B整除信號(hào)長(zhǎng)度w。現(xiàn)令：

　　可見(jiàn)，時(shí)域的混疊造成了頻域的等間隔采樣，即頻域降采樣［5］。

　　1.6重構(gòu)算法

　　重構(gòu)過(guò)程主要分為3步：哈希映射、定位循環(huán)和估值循環(huán)。

　　設(shè)哈希映射函數(shù)為hσ(i)=round(σiB/n)，它確定了分“筐”的規(guī)則。同時(shí)設(shè)偏移量向量oσ(i)=σi－h(huán)σ(i)(n/B)，它確定了估值循環(huán)時(shí)濾波器的坐標(biāo)。定位循環(huán)得到i中最大的前dk個(gè)值的坐標(biāo)J，經(jīng)過(guò)哈希函數(shù)反映射得到J的原像I={i∈［n］|hσ(i)∈J}。對(duì)于i∈I，由′i=hσ(i)ωτi/oσ(i)得到原始信號(hào)x的逼近值。

　　因?yàn)槠交瑸V波器通帶幾乎平滑，阻帶以指數(shù)衰減，所以相鄰大值點(diǎn)之間的頻譜泄露可以忽略。因此，重構(gòu)算法不需要迭代，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單［6］。此外，為協(xié)調(diào)“分筐”的開(kāi)銷(xiāo)和重構(gòu)估值的開(kāi)銷(xiāo)，取參數(shù)B≈n·k，且B整除n。

　　2SFFT算法信號(hào)壓縮的仿真與評(píng)價(jià)

　　為驗(yàn)證算法的可行性，本文構(gòu)建了多個(gè)不同參數(shù)的一維稀疏信號(hào)，在長(zhǎng)度為n的信號(hào)中，均勻隨機(jī)選取k個(gè)位置為非零值，其余設(shè)置為零值。在算法耐噪聲測(cè)試中，采用高斯白噪聲作為信號(hào)傳遞過(guò)程中的信道噪聲。

　　圖2是其中一個(gè)測(cè)試用例的原始信號(hào)和恢復(fù)信號(hào)對(duì)比圖，其信號(hào)長(zhǎng)度為65 536，頻域稀疏度為50，信道信噪比為20 dB。從圖中可以看出即使較小的頻點(diǎn)幅值依然可以高概率重構(gòu)出來(lái)。

　　圖3是描述算法重構(gòu)誤差隨信號(hào)稀疏度的變化曲線。選取測(cè)試用例中信號(hào)長(zhǎng)度分別為220、222、224、稀疏度在50～4 000之間變化的測(cè)試信號(hào)。由圖3可知當(dāng)信號(hào)長(zhǎng)度一定時(shí)，SFFT算法的恢復(fù)誤差隨稀疏度的增大而逐漸增大；當(dāng)信號(hào)的稀疏度一定時(shí)，信號(hào)長(zhǎng)度越長(zhǎng)SFFT算法的恢復(fù)誤差越小。總之，信號(hào)的大系數(shù)在信號(hào)中占的比例越大，其恢復(fù)誤差就越大；在大系數(shù)個(gè)數(shù)比較少的情況下，其算法的恢復(fù)誤差可以低于1×10-10。

　　圖4是不同稀疏度的情況下SFFT算法的數(shù)據(jù)壓縮比變化曲線。橫向比較可以看出，在信號(hào)長(zhǎng)度一定的情況下，其非零點(diǎn)越多，在信道傳輸存儲(chǔ)所需的物理單元就越多，則其數(shù)據(jù)壓縮比就越小。當(dāng)信號(hào)長(zhǎng)度為224、信號(hào)稀疏度為50的時(shí)候，SFFT的數(shù)據(jù)壓縮比高達(dá)741.436；當(dāng)信號(hào)長(zhǎng)度為224、信號(hào)稀疏度為4 000的時(shí)候，SFFT的數(shù)據(jù)壓縮比降到了12.722。縱向比較可以看出，當(dāng)信號(hào)稀疏度一定的情況下，信號(hào)長(zhǎng)度越長(zhǎng)其壓縮比越大。

3結(jié)論

　　本文通過(guò)通過(guò)分析傳統(tǒng)信號(hào)壓縮的不足，提出一種基于稀疏快速傅里葉的信號(hào)壓縮方式。該方法通過(guò)利用信號(hào)頻域的稀疏特性，成功降低了信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換的長(zhǎng)度，在保證足夠小的誤碼率的情況下，使傳輸信號(hào)具有良好的數(shù)據(jù)壓縮比，同時(shí)使計(jì)算傅里葉變換的時(shí)間大大縮短。通過(guò)構(gòu)建參數(shù)不同的信號(hào)進(jìn)行SFFT算法仿真，證明該算法在信號(hào)壓縮方面擁有很大的優(yōu)勢(shì)。

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