黃雄波

　　（佛山職業技術學院 電子信息系，廣東 佛山 528137）

　　摘要：由于自相關函數刻畫了時序數據在不同時刻取值的線性相關程度，故其在時序數據的統計分析中得到了廣泛的應用。討論了基于FFT變換的自相關函數計算原理，結合非平穩時序數據的辨識需求，基于自相關函數理論對趨勢和周期成份的分離次序以及殘留序列的隨機類型識別等問題進行了深入分析，進一步提出了一種改進的非平穩時序數據的辨識算法。實驗驗證了改進算法的合理性和有效性。

　　關鍵詞： 自相關函數； FFT變換；非平穩時序數據；系統辨識

0引言

　　在工程、經濟、自然和社會科學等很多領域中，被考查對象在其歷史的演變過程中，其相關的物理量常常以一系列隨時間而變化的數據序列而被人們記載，這種序列通稱為時間序列或時序數據 ［13］。事實上，由于受到諸多偶然因素的影響，時序數據很難用一個精確的數學表達式來描述，但由于它們大都具有統計規律的特性，因此，可以通過對時序數據的辨識和建模，進而達到認識事物、掌握其內在變化規律的目的［46］。

　　一般地說，事物在演變過程中往往具有某種趨勢或周期規律的特性，故在現實中所獲得的時序數據也就具有非平穩的特點，即序列的均值(一階矩)為非常數且自相關函數(二階矩)與起始時間有關［78］。由于非平穩時序數據具有時變的統計結構，故其辨識和建模的過程比平穩時序數據要復雜得多，目前比較有效的做法是［913］：首先從原始序列中分離出趨勢和周期成份并分別對它們進行辨識，然后對殘留的平穩隨機序列建立相應的AR、MA或ARMA模型。本文基于自相關函數的理論，對諸如趨勢和周期成份的分離次序以及殘留序列的隨機類型識別等問題進行了分析，在此基礎上，提出一種改進的非平穩時序數據的辨識算法，實驗證明改進算法是有效的。

1問題描述

　　1.1時序數據的自相關函數

　　設樣本長度為n的非平穩時序數據{y(t),t=0,1,…,n－1}在相鄰p時刻的數據取值分別為yt和yt+p，則yt的p階樣本自相關函數的估算值r^(p)可用式(1)進行計算：

　　自相關函數是時序數據的二階統計特性，它表征了序列數據項之間的依賴程度及趨勢的變化情況，據此，可以利用自相關函數的上述性質來識別序列的趨勢和周期成份的顯著性及它們之間的關聯信息等。

　　1.2基于FFT變換的自相關函數計算

　　利用式(1)計算r^(p)時，若序列的樣本長度n比較大，則所需要的運算量也隨之增加，為了提高運算速度，可以利用快速傅里葉變換(Fast Fourier Transformation，FFT)算法來實現對r^(p)的快速運算［14］。

　　對r^(p)施行Fourier變換，由式(1)有：

　　為了能用離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT)來計算式(2)的線性卷積運算，故需要對時序數據y(t)補充n位零數值，得y′(t)，即：

　　綜合式(2)~式(5)可知，基于FFT變換的自相關函數的計算流程為：(1)對y(t)補充n位零數值，得y′(t)；(2) 對y′(t)做DFT變換，得到y′(m)；(3) 對1n|y′(m)|2做逆DFT變換，得到r^′(p)；(4)對r^′(p)中0~n的點進行整體右移n位，得到r^(p)。

2非平穩時序數據的辨識改進

　　2.1自相關函數在非平穩時序數據的辨識應用

　　非平穩時序數據y(t)的辨識模型如式(6)所示:

　　其中，∑ui=0αiti是趨勢成份，由一個u階的多項式進行辨識，αi為多項式的各階次的辨識參數；∑vi=1λisin(iωt)是周期成份，ω為基波角頻率，λi為各諧波的幅值；x(t)為殘留的平穩隨機序列。

　　2.1.1趨勢和周期成份的分離

　　對于既有趨勢又有周期影響的非平穩時序數據而言，當趨勢成份很強時，則其趨勢特點表現突出，甚至會把周期特點淹沒掉；而當周期成份很強，其趨勢特點也有可能顯現不出來。 據此，有必要在現有的非平穩時序數據辨識算法的基礎上，根據趨勢和周期成份在序列中的輕重地位進行依次分離和辨識。

　　對于趨勢成份明顯的時序數據，由于緊鄰的數據項具有相同的取值方向，故其自相關函數的前3~4階通常會出現正數且具有大于2n的特點；而當序列存在周期長度為L的數據成份時，則由于各個周期內相關位置的數據具有同時為大或同時為小的特點，故其L,2L,…,int(nL)L(int()為取整函數)等各階次的自相關函數均為正值。依照上述規則，可以通過計算各階次的自相關函數來判別待辨識的非平穩時序數據是否存在著趨勢和周期成份，當僅發現趨勢時，則首先分離趨勢成份，然后再對殘留序列進行周期識別；反之，當僅發現周期時，則首先分離周期成份，然后再對殘留序列進行趨勢識別；而當趨勢和周期同時顯著時，則應從原始序列中同時分離這兩種數據成份。

　　以趨勢和周期成份同時顯著為例，其基于最小二乘法的分離過程如下：

　　為滿足arg mine=∑nt=0|y(t)－f(t)|2，依最小二乘法有：

　　

　　求解式(7)的線性方程組［15］，便可得到趨勢和周期成份同時顯著時的辨識參數向量［α0,α1,…,αu,λ1,λ2,…,λv］T。

　　2.1.2殘留序列的平穩性判別及辨識

　　通常，非平穩時序數據y(t)在去掉趨勢和周期成份的影響后，其殘留序列x(t)可能是一個分段局部平穩、整體平穩或完全隨機型的序列，故在殘留序列x(t)的辨識之前還應進行隨機類型的識別。完全隨機型序列其各階次的自相關函數具有零值的特點；而分段局部平穩或整體平穩的隨機型序列在平穩范圍內其數據項之間是允許存在自相關的，但數據項xt和xt+p的相關性會隨著間隔項p的增大而減少。在工程應用中，若某序列的各階次的自相關函數滿足式(8)，則可把該序列視為平穩時序數據［16］。

　　式(8)中，符號“&&”為邏輯與運算，“int( )”為取整函數，該邏輯表達式描述了序列的自相關函數的絕對值在1~2階次時均大于2n，但其后便衰減至－2n,2n區間內。

　　由于完全隨機型序列不包含任何形式的模型，故無需對它進行任何的處理；而平穩隨機序列則可以采用式(9)的AR模型進行建模：

　　x(t)=φ1xt－1+φ2xt－2+…+φkxt－k+un(9)

　　式(9)中，［φ1,φ2,…,φk］T為自回歸參數向量，un是均值為零、方差為σ2的正態分布白噪聲。自回歸參數向量［φ1,φ2,…,φk］T可用式(10)的DurbinLevinson遞推公式求得，而遞推的具體計算流程則如圖1所示。

　　對于分段局部平穩的殘留序列而言，在辨識之前還應完成各段平穩子序列的劃分，即需要確定平穩子序列的段數及各段之間的分割點。根據平穩時序數據的自相關函數特征，可得到如下平穩子序列的分割方法：以1個數據項為步長自左至右地搜索分割點，若新增數據項后的子序列其自相關函數仍滿足式(8)中的邏輯表達式，則合并該新增數據項并繼續向右搜索；否則以該新增數據項為分割點，新建另一平穩子序列并繼續向右搜索；重復上述過程直至遍歷整個殘留序列為止。完成平穩子序列的劃分后，便可根據式(10)中的遞推公式求得它們各自的辨識參數向量。

　　2.2非平穩時序數據的辨識改進算法

　　綜上所述，可設計如下的非平穩時序數據的辨識改進算法。

　　算法：基于自相關函數的非平穩時序數據的辨識算法。

　　輸入：樣本長度為n的非平穩時間數據y(t)。

　　輸出：趨勢成份的辨識參數向量［α0,α1,…,αu］T，周期成份的辨識參數向量［λ1,λ2,…,λv］T，隨機成份的辨識參數向量［φ1,φ2,…,φk］T。

　　步驟1設計相關的公用函數模塊。

　　模塊1依照上述的式(2)～式(5)編寫序列的FFT自相關函數計算模塊。

　　模塊2編寫趨勢成份顯著的識別模塊，具體的識別流程為：

　　if((r^(1)>(2/sqrt(n)))&&(r^(2)>(2/sqrt(n)))&&(r^(3)>(2/sqrt(n))))

　　{

　　標識趨勢成份顯著；

　　}

　　模塊3編寫周期成份顯著的標識模塊，具體的識別流程為：

　　for(L=2;L<=int(2/n);L++)

　　{//遍歷搜索顯著的周期成份

　　if((r^(L)>0)&&(r^(2*L)>0)&&…&&(r^(int(n/L)*L)>0))

　　{

　　標識周期成份顯著；

　　}

　　}

　　模塊4線性方程組(系數矩陣A=［aij］∈Rn×n)的GaussSeidel迭代求解模塊，其迭代求解公式為：

　　步驟2從非平穩時序數據中分離趨勢和周期成份。

　　(1)調用公用模塊1計算y(t)的r^(1)、r^(2)、…、r^(2n)等各階次的自相關函數；

　　(2)調用公用模塊2和模塊3進行趨勢和周期成份的識別；

　　(3)對(2)的識別結果進行處理，分“僅趨勢成份顯著”、“僅周期成份顯著”、“趨勢和周期成份同時顯著”、“趨勢和周期均不顯著”4種情況；

　　case1://限于篇幅，這里只給出“僅趨勢成份顯著”的處理流程

　　{

　　(1)基于最小二乘法計算趨勢成份顯著時y(t)所對應的線性方程組的系數矩陣A；

　　(2)調用公用模塊4求得趨勢成份的辨識參數向量［α0,α1,…,αu］T；

　　(3)計算殘留序列，x(t)=y(t)－∑ui=0αiti－1；

　　(4)調用公用模塊1計算殘留序列x(t)的r^(1)、r^(2)、…、r^(2n)等各階次的自相關函數；

　　(5)調用公用模塊3對殘留序列x(t)進行周期成份的識別；

　　(6)對殘留序列x(t)的周期成份識別結果進行處理：

　　if(殘留序列x(t)的周期成份顯著)

　　{

　　①基于最小二乘法計算周期成份顯著時x(t)所對應的線性方程組的系數矩陣A；

　　②調用公用模塊4求得周期成份的辨識參數向量［λ1,λ2,…,λv］T；

　　③更新殘留序列，x(t)=x(t)－∑vi=1λi(siniωt)；

　　}

　　④轉步驟3；

　　}

　　步驟3對殘留序列x(t)進行辨識。

　　(1)遍歷殘留序列x(t)，完成各局部平穩子序列的劃分；

　　for(i=0;i<n;i++)

　　{

　　sl=i－d［m］;

　　//計算當前子序列的序列長度，d［m］為第m段平穩子序列的起點位置

　　if(sl>=min)

　　{

　　if((r^(1)==0)&&(r^(2)==0)&&…&&(r^(int(2/sl))==0))

　　{

　　標識當前子序列為完全隨機型序列；

　　}

　　else

　　{

　　if((abs(r^(1))>(2/sqrt(sl)))&&(abs(r^(2))>(2/sqrt(sl)))&&…&&(abs(r^(3))<(2/sqrt(sl)))&&…&&(abs(r^(int(2/n)))<(2/sqrt(sl))))

　　{

　　標識當前的第m段子序列為局部平穩子序列；

　　}

　　else//第i項數據為分割點

　　{

　　m++;//局部平穩子序列的段數增1；

　　d［m］=i;//保存第m段局部平穩子序列的分割點；

　　(2)對平穩序列的辨識參數向量進行估計：

　　for(i=0;i<m;i++)//m為(1)確定的局部平穩子序列的段數

　　{

　　while(abs(φi_kk)>(2/sqrt(n)))

　　//取顯著性水平α=0.05，若|φi_kk|<2n成立，則認為k階自相關函數等于0；

　　{

　　利用式(10)對第i段局部平穩子序列的辨識參數向量［φi_1，φi_2，…，φi_k］T進行遞推計算；

　　}

　　步驟4輸出趨勢成份、周期成份及隨機成份的辨識參數向量，算法結束。

3實驗及結果分析

　　為了驗證上述算法的合理性及有效性，這里將分別對趨勢成份顯著、周期成份顯著、殘留序列為分段局部平穩的非平穩時序數據進行相關的辨識實驗。實驗的硬件環境為惠普ProDesk 490 G2 MT商用臺式機(CPU:i5-45704×3.2 GHz;內存:4 GB DDR3 1600)，軟件環境及開發工具為Windows 8.1+Microsoft Visual C++2010。實驗的主要目的是考察改進算法與現有算法之間的辨識精度及計算效能。

　　3.1實驗設計

　　不失一般性，實驗所用的非平穩時序數據約定滿足如下假設：(1)趨勢成份為二次多項式α0+α1t+α2t2,且α1α0和α1α2成立，即以直線趨勢成份為主；(2)周期成份為一次諧波λ1sinωt；(3)序列的樣本長度n=200。

　　分別利用改進算法和現有算法進行如下實驗：

　　實驗1：趨勢成份顯著的非平穩時序數據的辨識，所選的數據模型如式(11):

　　y(t)=3t+0.011t2+0.3sin0.785t－0.28y(t－1)(11)

　　實驗2：周期成份顯著的非平穩時序數據的辨識，所選的數據模型如式（12）：

　　y(t)=0.4t+0.001t2+200sin0.785t－0.28y(t－1)(12)

　　實驗3：殘留序列為分段局部平穩的非平穩時序數據的辨識，所選的數據模型如式（13）：

　　3.2實驗結果與討論

　　為了能全面考察改進算法與現有算法的辨識精度，這里引入了均方標準誤差(Root Mean Squared Error，RMSE)和平均絕對百分誤差(Mean Absolute Percentage Error，MAPE)共兩個性能評價標準，具體定義如式(14)和式(15)所示。

　　式(14)和式(15)中，y(t)為原始序列，y^(t)為辨識序列，n為序列的樣本長度。

　　實驗1~實驗3的辨識結果如表1、表2及圖2~圖4所示。其中，表1為辨識序列的函數表達式，表2為辨識性能的具體數值，而圖2~圖4則是各次實驗的辨識擬合曲線。

　　從表1的辨識函數表達式易知，對于趨勢或周期成份顯著的非平穩時序數據而言，由于現有算法沒有按照一定的次序進行分離，故不顯著的數據成份未能有效地被識別，進而導致了殘留隨機序列存在一定的偏差。在表2中，根據辨識性能的具體數值可發現，改進算法在增加了一定的計算耗時后其辨識精度有了顯著的提高。從圖4的辨識擬合曲線則不難發現，現有算法對分段局部平穩序列的辨識效果較差，究其原因是因為用了平穩隨機模型來對整體不平穩的序列進行辨識，故不僅存在較大的辨識誤差而且辨識序列的模型階數也出現了增加；而改進算法雖然花費了相當的計算耗時，但能從根本上保證辨識精度。綜上所述，本文提出的改進算法對非平穩時序數據具有良好的辨識性能。

4結論

　　本文提出了一種非平穩時序數據的辨識改進算法，由于對趨勢和周期成份的分離次序以及殘留序列的隨機類型識別等細節問題均作了相應的處理，故改進算法的辨識性能有了明顯的提升。下一步的主要工作是引入自相關函數的并行快速變換運算，同時研究更為有效的平穩子序列劃分方法，以便進一步提升改進算法的計算效能。

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