摘  要： 在高速設計中，反射是其中的一個重要問題。消除反射的最好辦法就是保證傳輸線的阻抗連續(xù)。分別從基于集總LC模型的理想無損傳輸線和基于集總RLGC模型的傳輸線的阻抗連續(xù)特性出發(fā)，通過歸納的方法得到了基于集總LC模型的理想無損傳輸線和基于集總RLGC模型的傳輸線的阻抗計算公式。

　　關鍵詞： 反射；阻抗連續(xù)性；傳輸線；集總模型

　　在電子系統(tǒng)中，設備與設備之間，器件與器件之間都是通過導線相連的。常見的傳輸線既包括平行雙導線、同軸線和雙絞線等電纜傳輸線，也包括PCB板上微帶線和帶狀線，如圖1所示。這些導線有的很短，也有導線很長，信號從信號源端傳到負載終端需要一定的時間，這段時間對于低速電路系統(tǒng)可以忽略，但是對于高速電路系統(tǒng)會產(chǎn)生重要影響，不能忽略。對于這種必須考慮信號傳輸?shù)倪B接線，稱之為傳輸線。由于信號在其上的傳輸需要時間，因而常常也將傳輸線稱之為延遲線。

　　如果傳輸線的任何一處的橫截面都相同，就稱為均勻傳輸線，由于其阻抗可控，也稱為可控阻抗傳輸線。如果傳輸線的橫截面不均勻，就會出現(xiàn)阻抗不連續(xù)。阻抗不連續(xù)的后果就是高速信號在傳輸時出現(xiàn)電磁波的反射，使信號波形嚴重畸變，并且引起一些有害的干擾脈沖，影響整個系統(tǒng)的正常工作。

　　通常阻抗定義為電壓與電流之比。在傳輸線中，這個定義仍然有效，傳輸線上任何一處的瞬時電壓與瞬時電流成正比，流過傳輸線的瞬時電壓和瞬時電流的比值就稱為瞬態(tài)阻抗[1]。傳輸線的瞬態(tài)阻抗僅由傳輸線的橫截面和材料特性共同決定，瞬態(tài)阻抗等于施加的電壓與流過器件的電流的比值。特性阻抗是傳輸線的固有屬性，僅與材料特性、介電常數(shù)、頻率有關，而與傳輸線的長度無關。只要這3個參數(shù)不變，瞬態(tài)阻抗就是一個常數(shù)。對于一個均勻的傳輸線，任何一處的瞬態(tài)阻抗都是相同的，這樣一個恒定的瞬態(tài)阻抗就稱為傳輸線的特性阻抗。

　　傳輸線是一個典型的分布參數(shù)系統(tǒng)，信號是以電磁波的形式在信號通道上傳輸，信號通道是由電阻、電容、電感及電導組成的復雜網(wǎng)絡。通常在電路分析中，使用集總參數(shù)系統(tǒng)來描述傳輸線。集總參數(shù)系統(tǒng)就是把傳輸線的某一段分布參數(shù)（如阻抗、容抗、感抗和電導）作為一個元件集中于空間的各個點上，各點之間的信號是瞬間傳遞的。本文將傳輸線分為基于集總LC模型的理想無損傳輸線和基于集總RLGC模型的實際傳輸線兩種情況來討論，得到各自狀況下的阻抗計算公式。

　　1 基于集總LC模型的理想無損傳輸線阻抗求解

　　理想無損是一種理想狀態(tài)，在該狀態(tài)下，整個傳輸線可以用集總LC模型來描述。首先從簡單的單節(jié)理想傳輸線的集總LC模型出發(fā)，逐步過渡到兩節(jié)，甚至n節(jié)，最后推廣到無窮節(jié)集總LC模型，得到理想狀況下的阻抗計算公式。

　　1.1 單節(jié)理想傳輸線集總LC模型

　　單節(jié)理想傳輸線集總LC電路模型如圖2所示[2]。整個傳輸線由分布電感L和分布電容C及特性阻抗Z0組成。

　　根據(jù)阻抗連續(xù)特性的要求，必然得到A的阻抗ZA和特性阻抗Z0相等，根據(jù)這個條件得到下列方程：

　　ZA=//（j?棕C+Z0）=Z0（1）

　　求解方程可以得到特性阻抗Z0：

　　Z0=-j（2）

　　1.2 兩節(jié)理想傳輸線集總LC模型

　　把整個傳輸線分成兩段，組成兩節(jié)理想傳輸線集總LC模型。如圖3所示，兩節(jié)理想傳輸線集總LC模型的組成和單節(jié)理想傳輸線集總LC模型類似。不同的是它由兩個單節(jié)模型組成，而且其中的分布電感為L/2，分布電容為C/2。

　　假設單節(jié)集總LC模型的阻抗公式依然成立，將分布電感L/2和分布電容C/2帶入式（2）后得到：

　　Z0=-j（3）

　　將Z0的值代入后求得：

　　ZB=-j=Z0（4）

　　將ZB的值代入后求得：

　　ZA=-j=ZB=Z0（5）

　　通過式（5），得到了兩節(jié)集總LC模型的阻抗公式。同時證明了前面假設的單節(jié)集總LC模型的阻抗公式在兩節(jié)模型中依然成立。

　　1.3 n節(jié)理想傳輸線集總LC模型

　　把整個傳輸線分成n段，組成n節(jié)理想傳輸線集總LC模型，如圖所示。n節(jié)理想傳輸線集總LC模型的組成和單節(jié)理想傳輸線集總LC模型類似。不同部分是它由n個單節(jié)模型組成，而且其中的分布電感為L/n，分布電容為C/n。依然假設單節(jié)集總LC模型的阻抗公式成立，根據(jù)單節(jié)集總LC模型的阻抗公式，將分布電感L/n和分布電容C/n帶入式（2）后得到：

　　Z0=-j（6）

　　將Z0的值代入后求得：

　　ZB=-j=Z0（7）

　　逐級帶入后求得：

　　ZA=-j=…=ZB=Z0（8）

　　通過式（8），得到了n節(jié)集總LC模型下的阻抗公式。同樣證明了前面假設的單節(jié)集總LC模型的阻抗公式在n節(jié)模型中依然成立。因此可以將式（6）推廣到任意節(jié)集總LC模型。

　　用集總LC模型來模擬傳輸線，模型的節(jié)數(shù)越多越能近似模擬理想傳輸線，所以可以取LC節(jié)數(shù)為無窮大。根據(jù)上面的結論，當n→∞，可以得到：

　　就是得到的理想狀態(tài)下傳輸線的阻抗計算公式。當n→∞，可以得到一個簡明的無窮節(jié)集總LC電路模型，如圖5所示[3]。

　　2 基于集總RLGC模型的傳輸線阻抗求解

　　實際的傳輸線一般用集總RLGC模型來描述。首先從簡單的單節(jié)集總RLGC模型出發(fā)，逐步過渡到兩節(jié)，甚至n節(jié)、無窮節(jié)集總RLGC模型，得到實際狀況下的傳輸線的阻抗計算公式。

　　2.1 單節(jié)傳輸線集總RLGC模型

　　單節(jié)傳輸線集總RLGC電路模型如圖6所示[4]。整個傳輸線由分布電感L、分布電阻R、分布電導G和分布電容C及特性阻抗Z0組成。

　　根據(jù)傳輸線阻抗連續(xù)特性的要求，必然得到A的阻抗ZA和特性阻抗Z0相等，根據(jù)這個條件得到下列方程：

　　ZA=//（R+j?棕C+Z0）=Z0（10）

　　求解方程可以得到特性阻抗Z0：

　　Z0=zB+ZA（11）

　　2.2 兩節(jié)傳輸線集總RLGC模型

　　把整個傳輸線分成兩段，組成兩節(jié)傳輸線集總RLGC模型。兩節(jié)傳輸線集總RLGC模型的組成和單節(jié)傳輸線集總RLGC模型類似。不同的是它由兩個單節(jié)模型組成，而且其中的分布電感為L/2，分布電阻為R/2，分布電導為G/2，分布電容為C/2。

　　假設單節(jié)集總RLGC模型的阻抗公式依然成立，將分布電感L/2、分布電阻R/2、分布電導G/2和分布電容C/2帶入式（11）后得到：

　　Z0=L/2+ZB（12）

　　將Z0的值代入后求得：

　　ZB==Z0（13）

　　將ZB的值代入后求得：

　　ZA==ZB=Z0（14）

　　通過式（14），得到了兩節(jié)集總RLGC模型下阻抗公式。同時證明了前面假設的單節(jié)集總RLGC模型的阻抗公式在兩節(jié)模型中依然成立。

　　2.3 n節(jié)傳輸線集總RLGC模型

　　把整個傳輸線分成n段，組成n節(jié)傳輸線集總RLGC模型。n節(jié)傳輸線集總RLGC模型的組成和單節(jié)傳輸線集總RLGC模型類似。不同部分是它由n個單節(jié)模型組成，而且其中的分布電感為L/n，分布電阻為R/n，分布電導為G/n，分布電容為C/n。依然假設單節(jié)集總RLGC模型的阻抗公式成立，根據(jù)單節(jié)集總RLGC模型的阻抗公式，將分布電感L/n、分布電阻R/n、分布電導G/n和分布電容C/n

    到了n節(jié)集總RLGC模型下的阻抗公式。同樣證明了前面假設的單節(jié)集總RLGC模型的阻抗公式在n節(jié)模型中依然成立。通過上述的歸納證明，可以推廣到任意節(jié)集總RLGC模型。

　　同樣用集總RLGC模型來模擬傳輸線，模型的節(jié)數(shù)越多越能近似模擬理想傳輸線，所以可以取RLGC節(jié)數(shù)為無窮大。根據(jù)上面的結論，當n→∞，可以得到：

　  就是得到的實際狀況下的傳輸線阻抗計算公式[5]。當n→∞，可以得到一個簡明的無窮節(jié)集總RLGC電路模型，如圖所示。

　　通過上面的歸納證明，從傳輸線阻抗連續(xù)特性方面得到了傳輸線在理想狀況下和實際狀況下的阻抗計算公式，也是從另一個角度用理論的方法驗證阻抗計算公式的正確性。對深入了解阻抗計算公式提供了理論基礎。從上面的模型也可以看出，負載匹配是傳輸線阻抗連續(xù)的必要條件，如果負載不匹配，會導致傳輸線阻抗出現(xiàn)不連續(xù)。

　　參考文獻

　　[1] ERIC BOGATIN著，李玉山，李麗平譯.信號完整性分析[M].北京：電子工業(yè)出版社，2005.

　　[2] JOHNSON H， GRAHAM M. High speed digital design[M]. New Jersey： Prentice Hall PTR， 1993.

　　[3] JOHNSON H. High speed signal propagation[M]. New Jersey： Prentice Hall PTR，2003.

　　[4] 陳偉，黃秋元，周鵬.高速電路信號完整性分析與設計[M].北京：電子工業(yè)出版社，2009.

　　[5] 梁昌紅，王新穩(wěn)，李延平，等.微波技術與天線[M].北京：電子工業(yè)出版社，2011.