摘 要： 支持向量機(SVM)是一種兩類分類算法，如何將SVM算法應用于多類分類問題，目前已衍生出多種方法。其中“二叉樹”方法應用比較廣泛，但分類支持向量機在樹中中間節點位置的不同，直接關系到該方法的分類準確性。基于二叉樹方法提出了“類間相異度”的策略，根據類間相異程度來決定多類的分類順序。
關鍵詞： 支持向量機；二叉樹；超球體；相異度
支持向量機SVM(Support Vector Machine)[1]是一種基于統計學的VC維理論[2]和結構風險最小化原理基礎之上的兩類分類算法。目前，該算法已廣泛應用于諸多領域，如人臉檢驗、文字/手寫體識別、圖像處理[3]等。支持向量機屬于一種機器學習算法，核函數則是其中的核心部分。對于難以分類的低維空間向量集，通常的做法是向高維空間集轉化，但這也增加了計算的復雜度，即維數災難[4]問題。而核函數[4]卻可以很好地解決這個問題，只要選取合適的核函數，即可得到高維空間的向量機（也稱超平面[2]）。
當使用向量機進行多類分類時，需要將多類問題轉化為兩類問題。常用的有“一對多”(One Versus Rest)[5]、“一對一”(One Versus One)[6]、“二叉樹”(Binary Tree)[7]和“有向無環圖”(Directed Acyclic Graph)[8]等方法，本文將對多類分類支持向量機[9]的這些方法作概略介紹和比較，同時對基于偏二叉樹多類分類向量機提出一些改進意見。
1 SVM多類分類方法
1.1 SVM多類分類方法介紹
現有一個多類分類問題，其中類別數為k。當使用支持向量機對此問題進行分類時，需假設一類為正樣本，另一類為負樣本。
“一對多”方法將類i樣本作為正樣本，而除該類以外的所有類作為負樣本，在這兩類樣本間訓練出向量機，該方法總共構造了k個分類支持向量機。在對某向量進行測試時，取計算出最大值的向量機所對應的類別作為該向量的類別。
“一對一”方法是從分類問題中選取類別i和類別j中的樣本數據訓練兩類間的分類向量機，這樣構造出的向量機的總數為k(k-1)/2。雖然“一對一”分類方法產生的分類向量機的數目是“一對多”方法的(k-1)/2倍，但“一對一”方法的訓練規模要比“一對多”方法小很多。對向量的測試采取計分的方式，通過k(k-1)/2個分類機的計算以后，選取得分最高的類別作為該測試數據的類別。
二叉樹方法是將兩類之間的k-1個向量機作為中間節點，葉子節點對應k個類別樣本，以這樣的方式構建一棵分類二叉樹，常用的方式包括滿二叉樹和偏二叉樹。在對樣本進行訓練時，根節點的向量機在全部樣本空間上進行訓練，而子節點向量機則在根節點的負樣本類或正樣本類上訓練，依次類推，直至k-1個分類機在k-1類和k類樣本上進行訓練。
有向無環圖方法與“一對一”方法一樣，也是在任意兩類之間訓練分類向量機，也即具有相同的分類向量機數目。k(k-1)/2個分類向量機作為圖的中間節點，圖中葉子節點為k類樣本。但在測試向量數據所屬類別時，僅需經過k-1個分類向量機節點即可判斷測試數據的類別。
1.2 基于二叉樹的SVM多類分類方法
在SVM多類分類算法中，分類樹是一種應用十分廣泛的多類分類策略。但分類向量機在樹中所處的節點位置，直接影響到分類的準確性和推廣的性能。不同的二叉樹結構，會使得測試數據得到不同的分類結果。隨著節點分類層次的深入，可能會產生分類“誤差累積”的現象[10]。因此，生成合適的二叉樹結構顯得異常重要。
生成多類分類二叉樹通常包括兩種思路：第一種是依據類中樣本點的分布情況，優先分出分布區域較大的類；第二種是依據類間距離作出判斷，優先分出離其他類較遠的類。而衡量類分布情況的一個有效方法是計算各個類的超球體的體積，體積越大，類的分布區域也就越大。類的超球體體積定義如下：
本文對于構造偏二叉樹提出了類間相異度的方法，有效解決了上述問題。
2 改進的偏二叉樹SVM多類分類方法
本文從類在空間中的分布情況和類間距離這兩方面著手，優化分類偏二叉樹的結構。對于類的分布情況采用參考文獻[11]所提出的超球體的體積來度量，而類間距離采用超球體重心間的歐氏距離來度量，關于歐氏距離的概念見定義2。為綜合考慮以上這兩個方面，本文引入了類間相異度的概念，具體內容見定義3。
輸入：包含n個樣本對象（含分類號）的數據集D。
輸出：包含K個元素的優先分類序列S。
算法：
(1)計算每個類的最小超球體的重心和半徑；
(2)repeat；
(3)根據定義3計算每個類相對D中其他剩余類的相異度之和；
(4)選擇步驟(3)中相異度最大的類i，把類標號i添加到S中，刪除D中類標號為i的元素；
(5)until D中只剩兩個類的元素；
(6)把剩余的兩個類的類標號添加到序列S中。
算法在步驟(5)返回步驟(3)循環執行，當數據集中僅包含兩類樣本時算法結束。
以生成分類偏二叉樹的根節點和左右孩子為例，取出分類序列S中第一個元素的類標號，將該類和其他類間訓練出的向量機作為根節點，該類作為左孩子，然后再從分類序列S中取出第二個元素的類標號，將該類和其他類間訓練出的向量機作為右孩子。以同樣的方式生成剩余的中間節點和葉子節點，最終構建出的多類分類偏二叉樹如圖2所示。
3 實驗分析
本文所有算法均使用C++語言實現，并使用VC6.0完成編譯。實驗平臺：Pentium?誖Dual-Core CPU 2.80 GHz、2 GB內存、Windows XP 操作系統。所有實驗數據均來自UCI數據庫中的多類別數據集vehicle和letter，具體樣本數量和維數如表1所示。
由于取不同的核參數λ和懲罰系數C[12]對模型的推廣有很大的影響，為了能更好地比較出依據不同的策略生成的偏二叉樹的推廣性能，本實驗與參考文獻[12]類似，對相同數據集的每一種策略均采用多種(C，λ)參數進行實驗，其中C的取值為2、4、8、16、32、64，λ的取值為2、4、8、16，這樣總共有6×4=24種組合，每個實驗的KTT停止條件的容許誤差為0.001。取出最高的預測準確率所對應的(C，λ)參數及其準確率進行比較。
從實驗數據的分析中可以看出，對于數據集vehicle，當訓練樣本的數量為600時，在預測準確率方面，使用本文提出的方法與其他方法相比，并沒有明顯的提高。而對于數據集letter，由于比vehicle數據集在訓練時多出300個樣本，本文提出的方法在準確率方面有了明顯的優勢。總體來講，本文提出的根據類間相異度的策略生成的偏二叉樹要比單獨根據類間距離或單獨根據類樣本的分布情況生成的偏二叉樹，在準確率方面有一定的改善。
基于二叉樹多類分類方法是SVM算法在多類分類問題中的一個重要應用，但支持向量機節點在二叉樹中所處位置的不同對分類的準確性有較大影響。本文首先分析和比較了由SVM算法所產生的多類分類方法，然后提出了一種依據類間相異度的策略來生成基于偏二叉樹的多類分類支持向量機。實驗結果表明，改進的算法在準確性方面有很大的提高。
參考文獻
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