1 頻率細化過程介紹
　　頻率細化是在信號處理和模態分析中廣泛應用的一種技術，它能夠提高頻率的分辨率，將選定的頻率域上的特性曲線放大，從而使系統的頻率特性能更清楚地顯示出來，如圖1所示。

　　設系統的采樣頻率為fs，采樣點數為NO，則頻率分辨率為：
　　Δf＝fs/NO
　　從上式可以看出，要進行頻率細化，即提高頻率分辨率，使Δf變小，有兩種方法：增加采樣點數NO和降低采樣頻率fs，這里只介紹降低采樣頻率的方法。
　　這種方法主要是基于移頻原理，如圖2所示。

　　設想要移頻部分的頻率為fp，其角頻率為ωp＝2πfp，令f(t)＝exp(－jωpt)。時域信號x(t)與f(t)卷積后，則在頻域上，該信號的fp頻率就移到了原點處。
　　信號頻率移到低頻后，經過低通濾波，就可以用低的采樣頻率進行采樣，從而達到提高頻率分辨率、頻率細化的目的。具體過程如圖3所示。
2 移頻法頻率細化過程中幾個問題的分析
　　(1)非細化處理的系統采樣頻率為fs，采樣點數為NO。對于細化過程，設頻率細化倍數為Nr，信號經過抗混疊濾波器后進行A/D采樣，采樣頻率應仍為原來的fs，保持不變，采樣點數則為Nr*NO，這樣就保證了細化與非細化處理的基本頻帶范圍保持不變，并且可以細化這一頻帶中的任何一段。
　　(2)要細化的頻率范圍為f1～fu，移頻后，低頻點f1移到原點，則高頻點變為(fu－f1)。這時數字低通濾波器的截止頻率應大于(fu－f1)，并小于低頻重采樣頻率fs/Nr的一半。即截止頻率的范圍為：
　　(fu－f1)＜fc＜fs/2Nr
　　且可以得到最大細化倍數N與細化頻率范圍之間的關系為：
　　Nr＜fs/2(fu－f1)
　　這為設置細化倍數范圍提供了依據。
　　(3)數字低通濾波器的通帶必須平，通帶內波動要小，這樣原信號的頻率特性細化后在幅值上才不會改變；同時，最好使濾波器的帶外衰減＞－70dB，且－70dB處的頻率＜fs/2Nr，這樣就能保證低頻重新采樣時抗混疊的效果最好，細化的效果也最好。
　　(4)細化與不細化過程占用時間的比較：由于采樣點數NO保持不變，因此細化處理的FFT時間與不細化的FFT時間一樣，都是NOlog(NO)/2；細化過程要進行Nr*NO點的高頻采樣和NO點的低頻采樣，而不細化過程只進行NO點的高頻采樣，所以在采樣時間上，細化過程要稍長一點。但它與NO點的FFT變換時間比起來可以不計，因此，細化處理與不細化處理在時間上差不多。
　　(5)移頻法頻率細化與增加采樣點數頻率細化的比較：移頻法頻率細化只進行NO個點的FFT變換，和一些數組、矩陣的運算，它所花的時間約為：NOlog(NO)/2；而采用增加采樣點數頻率細化要進行Nr*NO個點的FFT變換，它所花的時間約為：(Nr*NO)log(Nr*NO)/2，因此采用移頻法頻率細化的時間要短得多，這是它的優點，也是工程應用中多采用這種方法的原因，我們也只對它進行仿真。
　　由于移頻使f1前面的頻段移到頻域的負軸上，而低通濾波又濾掉了fu后面的高頻部分，因此，這種方法只能進行一段頻率的細化，不能進行全頻段的細化，這是移頻法頻率細化的缺點。要進行全頻段細化，可以采用增加采樣點數的方法。

3 用MATLAB仿真頻率細化過程
　　用MATLAB程序仿真圖3這個過程，主要實現A/D采樣、移頻、低通濾波、低頻重新采樣、FFT變換等，同時注意上面幾個問題的分析。
　　總信號由302Hz、304Hz、306Hz、308Hz四個不同頻率、不同幅值的正余弦信號合成。采樣點為512，采樣頻率為5120Hz，則頻率分辨率為10Hz，這在頻域內分辨不出這四個信號。仿真軟件在300～320Hz范圍內細化10倍，則這時頻率分辨率為1Hz，就可以逐漸看清楚這四個信號。
　　x(t)＝sin(2*302)+2cos(2π*304)+3sin(2π*306)+4sin(2π*308)
　　細化處理需要5120個采樣點，仿真時A/D采樣用對連續信號x(t)進行離散化來代替，離散化的點值就是采樣值，它們組成一個數組(矩陣)，這是一個點序列。
　　采樣完成后，對采樣點進行移頻仿真(將300Hz移頻到原點)，由以下步驟實現：
　　令：f1＝300,ω1＝2π*f1
　　f(t)＝exp(－jω1*t)
　　t取離散化時刻，Δt＝1/fs,Tk＝k*Δt
　　則f(t)離散化可變為：
　　f(k)＝exp(－jω1*Tk)
　?。絜xp[(－j2π*f1*k)/fs]
　　這也是一個點序列。
　　MATLAB將上面兩個點序列進行卷積(矩陣相乘)，得到一個新的點序列，就實現了移頻過程，即使f1＝300Hz 在頻域上移動了0，其它頻率特性依此前移。
　　MATLAB語言有很方便的濾波器設計和數字濾波功能，可用它設計一個帶內波動＜0.1dB，帶外衰減＞－70dB，截止頻率為20Hz的低通濾波器，并將上面的點序列進行數字濾波，得到一個只在0～20Hz頻段上有特性曲線、其它頻段被濾掉的信號的點序列。
　　對上面的點序列每隔10點(細化倍數)進行抽取，實際上就是對經移頻、濾波后的信號進行重新采樣。采樣頻率為5120Hz/10，即采樣頻率降低了10倍，抽取得到512個點。
　　對這512個點進行FFT變換，就可以得到300Hz～320Hz頻段上已細化10倍的頻率特性曲線了，結果如圖4、圖8所示。

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