0 引言
    網絡編碼(Network Coding)是2000年由香港中文大學R．Ahlswede等人基于網絡信息流的概念首次提出的。通過允許網絡節點進行編碼，可以獲得網絡多播速率的最大流限，即網絡資源利用的理論上限，而通過傳統的路由和復制并不一定能夠獲得該最大流限。繼R．Ahlswede等人提出網絡編碼的概念后，網絡編碼便被廣泛應用到通信網絡的各個方面。
     在無線網絡中，由于物理層的廣播特性，節點發送的數據包能夠同時被其他幾個節點檢測并接收到，因此網絡編碼更多地應用到無線網絡中。文獻表明，結合網絡編碼不僅可以降低復雜性，而且可以設計節能的路由算法；文獻表明，在不斷變化的無線網絡環境中采用機會網絡編碼(ONC)可以大大提高網絡的吞吐量。物理層網絡編碼利用同時到達的電磁波的疊加特性，從理論層面進一步提高了網絡的吞吐量。文獻表明，在雙向無線中繼信道中利用網絡編碼的優勢。文獻描述了直接應用網絡編碼的方法。文獻表明，在雙向中繼信道和多址中繼信道中采
用網絡編碼和信道編碼的聯合設計獲得了額外的分集增益。文獻是基于二進制對稱信道的硬判決物理層網絡編碼與信道編碼的聯合設計。
    相比較之前的工作，本文提出了一種新型的物理層網絡編碼和信道編碼的聯合設計方案，并分析了物理層網絡編碼的信道容量。通過仿真實驗表明，提出的機制能夠接近信道的容量極限。

1 網絡編碼系統模型
    網絡編碼典型的系統模型如圖1所示，節點n1和n2是兩個獨立的源節點，節點n3是中繼節點。首先節點n1和n2同時分別發送數據包U1和U2到中繼節點n3，X1和X2分別是數據包U1和U2經過信道編碼和調制之后的信號，假設網絡編碼的系統模型是完全同步的，信號為等功率發送，同時考慮傳輸信道中的加性高斯白噪聲，均值為0，再假設加性高斯白噪聲方差為σ2，則多址信道的輸出Y=X1+X2+N，中繼節點n3對接收到的信號進行網絡編碼，輸出信號為，網絡編碼采用的是比特之間的異或操作。中繼節點通過對接收到的數據進行異或運算，進行信息合并，實現中繼節點的數據壓縮。

 2 網絡編碼和信道編碼的聯合設計
    本文提出的網絡編碼和信道編碼的聯合設計如圖2所示，不同于傳統的網絡編碼方案，該設計采用混合編碼方式，實現了聯合網絡信道編碼，它基于物理層網絡編碼和信道編碼(LDPC碼)，解碼器采用軟輸入軟輸出系統，信道為加性高斯白噪聲信道。

 
    圖2中，Ui=[ui,0，ui,1，ui,2，…，ui,N-1]表示節點ni發送的數據包，其中i=1，2。
    假設發送的數據包具有相同的長度N，二進制比特ui,j∈{0，1}相互獨立并均勻分布，j=0，1，2，…，N-1，并假設節點n1和n2使用了相同的信道編碼方式，即使用LDPC編碼器進行編碼；Γ表示LDPC編碼器的映射函數；Γ-1表示LDPC解碼器的映射函數；Di=[di,0，di,1，di,2，…，di,M-1]表示LDPC編碼器編碼之后的碼字，長度為M，di,m∈{0，1}，i=1，2；碼速為N／M，則：
    
    由于LDPC碼是一種線性碼，并且網絡編碼也具有線性映射關系。在特殊情況下，即沒有傳輸錯誤的情況下：
    
    假設系統考慮BPSK調制，該系統也能夠被擴展到QPSK調制，以致高速率的16QAM調制，則Xi=[xi,0，xi,1，xi,2，…，xi,M-1]表示調制后的符號，能夠被表示成：
    
    Y=[y0，y1，y2，…，yM-1]是多接入信道的輸出，可以表示為：
    
    式中：nj表示加性高斯白噪聲項；方差為σ2。由于考慮BPSK信道調制，則ξj=2或-2或0。
    
    若在中繼節點n3處采用軟檢測電路，則可以用對數似然比函數(LLR)表示軟檢測電路的輸出信號，即可推出式(7)：
    
    式中：L()表示對數似然比函數。由式(1)和(2)可推出：
    
    當加性高斯白噪聲信道的輸入為s時，則輸出yj可表示為：
    
    式中：Eb表示每比特的傳輸能量；σ2表示噪聲方差。
    由式(8)可知，數據包*****被LDPC編碼器編碼和BPSK調制映射方式進行調制，則LDPC解碼器就能夠對其進行解碼，即：
   

3 信道容量分析
    文獻僅僅分析了：BSC信道的物理層網絡編碼容量，本文進一步分析了高斯信道(AWGN)下BPSK調制的信道容量。

    圖3是基于高斯信道的物理層網絡編碼和信道編碼聯合設計的等效虛擬系統。其中，虛擬信道(VC)是整個信道的子信道，子信道的輸入為Xi，輸出為Yi，Zi表示子信道的噪聲。即：
    Xi+Zi=Yi，，去掉下標i，則：X+Z=Y。
    虛擬信道(VC)的信道容量為Cv。則：
    Cv=I(x；y)=h(y)-h(y／x)=h(y)-h((x+z)／x)=h(y)-h(z)     (12)
    式中：h(y)表示接收信號信息熵；h(z)表示噪聲信息熵，則。
    Y=X1+X2+Z=ρ+Z     (13)
    式中：X1，X2分別表示節點n1，n2在i時刻的輸入。因為X1，X2和Z是相互獨立的，所以ρ和Z是相互獨立的。則虛擬信道的輸出Y的概率密度函數(PDF)：
    
    式中：p()表示()發生的概率；g()表示正態分布的概率密度函數，則：
    
    由于每比特的傳輸能量為Eb，并且采用BPSK調制，則可知：
    
    則由式(12)，式(16)，式(17)可以計算出基于BPSK調制的高斯白噪聲子信道的信息容量Cv。
    假設兩路信號每比特的傳輸能量為Eb，信噪比定義為SNR=Eb／σ2。幾種不同機制下的網絡編碼容量如圖4所示，其中PS代表高斯信道物理層網絡編碼容量；TS表示傳統機制網絡編碼容量；DS表示分離機制網絡編碼的容量。
    由圖4可知，在低信噪比下，DS機制性能略優于PS機制性能，PS機制性能優于TS機制性能。但在高信噪比，PS性能大大優于DS機制性能，能夠達到1 b／s的傳輸速率，而DS機制僅能達到0．72 b／s的傳輸速率。因為在高信噪比的情況下，DS機制中兩路發射信號當做了彼此的干擾信號，從而降低了系統性能。PS和DS機制性能遠遠優于TS機制性能，TS由于采用了時分復用，最大僅獲得0．6 b／s的傳輸速率。

4 仿真結果比較
    傳統的網絡編碼方案(分離機制方案)是由兩部分組成的，一個是信道編碼，一個是網路編碼。本文的設計方案不同于傳統的網絡編碼方案，是一種采用混合編碼方式實現聯合網絡信道編碼的方案，基于物理層網絡編碼和信道編碼(LDPC碼)。
    LDPC碼是一種具有稀疏校驗矩陣的線性分組糾錯碼，幾乎適用于所有的信道。LDPC碼多用戶檢測器是應用于多接入信道中的一種典型的信道編碼方式。LDPC編碼器采用(1 024，6，12)碼的規則矩陣，碼速為1／2，使用30次迭代，性能如圖5所示。

    當系統的誤碼率為10-5時，可以被認為是無誤碼傳輸。從圖5可以看出，誤碼率為10-5時，提出的PS機制性能與其理論性能僅僅相差0．6 dB，并且提出的PS機制相比DS機制獲得1．0 dB編碼增益，相比TS機制獲得1．6 dB的編碼增益。

5 結論
    網絡編碼自提出之后，廣泛應用于通信網絡的各個方面，尤其是無線通信網絡環境。本文主要研究了在無線網絡中物理層網絡編碼的設計，提出了多址信道中一種聯合網絡編碼和信道編碼的設計方案。該設計方案利用了LDPC編碼和網絡編碼的線性以及軟輸入軟輸出模塊設計，不僅減少了編譯碼復雜度，而且在高的信噪比情況下可以獲得良好的性能。同時，由本文提出的設計方案與傳統的方案相比至少能夠獲得1．60倍增益。