１ 頻率細化過程介紹
頻率細化是在信號處理和模態分析中廣泛應用的一種技術,它能夠提高頻率的分辨率,將選定的頻率域上的特性曲線放大,從而使系統的頻率特性能更清楚地顯示出來,如圖１所示。
設系統的采樣頻率為fs,采樣點數為NO,則頻率分辨率為：
Δf=fs/NO
從上式可以看出,要進行頻率細化,即提高頻率分辨率,使Δf變小,有兩種方法：增加采樣點數NO和降低采樣頻率fs,這里只介紹降低采樣頻率的方法。
這種方法主要是基于移頻原理,如圖2所示。
設想要移頻部分的頻率為fp,其角頻率為wp=2πfp,令f （t）=exp（-jwpt）。時域信號x（t）與f（t）卷積后,則在頻域上,該信號的fp頻率就移到了原點處。
信號頻率移到低頻后,經過低通濾波,就可以用低的采樣頻率進行采樣,從而達到提高頻率分辨率、頻率細化的目的。具體過程如圖3所示。
2 移頻法頻率細化過程中幾個問題的分析
（1）非細化處理的系統采樣頻率為fs,采樣點數為NO。對于細化過程,設頻率細化倍數為Nr,信號經過抗混疊濾波器后進行A/D采樣,采樣頻率應仍為原來的fs,保持不變,采樣點數則為Nr*NO,這樣就保證了細化與非細化處理的基本頻帶范圍保持不變,并且可以細化這一頻帶中的任何一段。
（2）要細化的頻率范圍為fl～fu,移頻后,低頻點fl移到原點,則高頻點變為（fu-fl）。這時數字低通濾波器的截止頻率應大于（fu-fl）,并小于低頻重采樣頻率fs/Nr的一半。即截止頻率的范圍為：
（fu-fl）＜fc＜fs/2Nr
且可以得到最大細化倍數Ｎ與細化頻率范圍之間的關系為：
Nr＜fs/2（fu-fl）
這為設置細化倍數范圍提供了依據。
（3）數字低通濾波器的通帶必須平,通帶內波動要小,這樣原信號的頻率特性細化后在幅值上才不會改變;同時,最好使濾波器的帶外衰減＞-70dB,且-70dB處的頻率＜fs／2Nr,這樣就能保證低頻重新采樣時抗混疊的效果最好,細化的效果也最好。
（4）細化與不細化過程占用時間的比較：由于采樣點數NO保持不變,因此細化處理的FFT時間與不細化的FFT時間一樣,都是 NOLog（NO）/2;細化過程要進行Nr*NO點的高頻采樣和NO點的低頻采樣,而不細化過程只進行NO點的高頻采樣,所以在采樣時間上,細化過程要稍長一點。但它與NO點的FFT變換時間比起來可以不計,因此,細化處理與不細化處理在時間上差不多。
（5）移頻法頻率細化與增加采樣點數頻率細化的比較：移頻法頻率細化只進行NO個點的FFT變換,和一些數組、矩陣的運算,它所花的時間約為：NOLog（NO）/2;而采用增加采樣點數頻率細化要進行Nr*NO個點的FFT變換,它所花的時間約為：（Nr*NO）Log（Nr*No） /2,因此采用移頻法頻率細化的時間要短得多,這是它的優點,也是工程應用中多采用這種方法的原因,我們也只對它進行仿真。
由于移頻使fl前面的頻段移到頻域的負軸上,而低通濾波又濾掉了fu后面的高頻部分,因此,這種方法只能進行一段頻率的細化,不能進行全頻段的細化,這是移頻法頻率細化的缺點。要進行全頻段細化,可以采用增加采樣點數的方法。
３ 用MATLAB仿真頻率細化過程
用MATLAB程序仿真圖3這個過程,主要實現A/D采樣、移頻、低通濾波、低頻重新采樣、FFT變換等,同時注意上面幾個問題的分析。
總信號由302Hz、304Hz、306Hz、308Hz四個不同頻率、不同幅值的正余弦信號合成。采樣點為512,采樣頻率為5120Hz,則頻率分辨率為10Hz,這在頻域內分辨不出這四個信號。仿真軟件在300～320Hz范圍內細化10倍,則這時頻率分辨率為1Hz,就可以逐漸看清楚這四個信號。
x（t）=sin（2*302）+2cos（2π*304）+3sin（2π*306）＋4sin（２π*308）
細化處理需要5120個采樣點,仿真時A/D采樣用對連續信號x（t） 進行離散化來代替,離散化的點值就是采樣值,它們組成一個數組（矩陣）,這是一個點序列。
采樣完成后,對采樣點進行移頻仿真（將300Hz移頻到原點）,由以下步驟實現：
令：F1=300W1=２π*F1
f（t）=exp（-jw1*t）
ｔ取離散化時刻,Δt=1/fsTk=k*Δt
則f（t）離散化可變為：
f（k）=exp（-jw1*Tk）
=exp[（-j2π*f1*k）/fs]
這也是一個點序列。
MATLAB將上面兩個點序列進行卷積（矩陣相乘）,得到一個新的點序列,就實現了移頻過程,即使F1=300Hz 在頻域上移動了0,其它頻率特性依此前移。
MATLAB語言有很方便的濾波器設計和數字濾波功能,可用它設計一個帶內波動＜0.1dB,帶外衰減＞-70dB,截止頻率為20Hz的低通濾波器,并將上面的點序列進行數字濾波,得到一個只在0～20Hz頻段上有特性曲線、其它頻段被濾掉的信號的點序列。
對上面的點序列每隔10點（細化倍數）進行抽取,實際上就是對經移頻、濾波后的信號進行重新采樣。采樣頻率為S120Hz/10,即采樣頻率降低了10倍,抽取得到512個點。
對這512個點進行FFT變換,就可以得到300Hz～320Hz頻段上已細化10倍的頻率特性曲線了,結果如圖4、圖8所示。
用仿真程序分別進行2、4、8、10倍的頻率細化,從運行結果可以看出,細化倍數越大,頻率分辨率就越高,頻域波形越看得清楚,這與理論是相符合的。