概要

　　常見的多級低通有源濾波器的增益排序方法是把大部分乃至全部增益放在第一級。如果只考慮要降低低頻的輸入?yún)⒖荚肼暎@是正確的設計方法。然而，其它的幾種考慮因素可能會使您改變這種增益排序，以實現(xiàn)更為出色的實施方案。這些需要考慮因素包括：每級特征頻率范圍內的噪聲峰值效應、高 Q 值高增益級的過沖導致壓擺范圍受限和/或削波、可靠實施所需的放大器帶寬。本文將對上述情況進行描述，為其找出相應實施方案，并對這些方案的效果進行詳解。

　　多級低通有源濾波器的設計考慮因素

　　每個多級有源濾波器設計人員都不得不為各級 Q 值的排序和每級該分配多少增益之間的折衷而大傷腦筋。如果濾波器的總增益要大于 1，最簡單的設計方法就是把大部分乃至全部的增益放在第一級。經(jīng)過正確分析得出這種方法可以實現(xiàn)最低輸入?yún)⒖键c噪聲(當噪聲頻率遠低于濾波器特性頻率時)。另外，對于標準的多極點設計，需要從低到高布置一系列的 Q 值。在哪里布置 Q 值最高的一級是一個非常重要的考慮因素，實際上也是實施方案成功與否的關鍵。這些 Q 值最高的一級會出現(xiàn)最高的輸出噪聲峰值，也是最有可能導致壓擺范圍受限和/或者削波的階躍響應過沖的地方。許多設計工具把這一級放在最前面，這恰與將大多數(shù)增益放在第一級的目標相沖突。有些設計工具則把大多數(shù)增益放在最后一級，結果導致噪聲峰值遠遠超過必要水平，增大了濾波器輸出的整體噪聲。某些設計工具則采用折中方法，把 Q 值最高的一級放在中間(針對 4 階以上而言)，這種方法似乎非常適用于某些應用。

　　在采用有自身性能限制的真實部件來真正構建這些濾波器時，上述的考慮就不再是紙上談兵。使用一種近期開發(fā)的在線設計工具(參考資料 1)，可以開發(fā)出多種能夠實現(xiàn)相同目標頻率響應的案例。在選擇不同的增益和 Q 值排序的情況下，它們的階躍響應、噪聲以及要求的放大器性能裕量會大相徑庭。

　　當然，只有在設計的低頻通帶總增益大于 1 的情況下才需要考慮增益排序。盡管增益和 Q 值排序問題也適用于多級反饋 (MFB) 或無窮大增益拓撲，這里將使用 Sallen Key 濾波器 (SKF) 來說明問題和結果。有資料顯示特定 SKF 級實現(xiàn)的增益是受限的(參考資料 2)。這只在阻容解決方案受到某些其它限制時才會出現(xiàn)。一般假設需要等電容設計，實際上這將限制每級可實現(xiàn)的最小增益。然而，對于板級實施方案來說，等電容假設是人為的，可能對于針對集成的設計流程更有用處。這里的設計不局限于等阻或是等容，讓設計可以實現(xiàn)通帶內任何需要的增益。不過，需要注意的是，隨著增益的增加，這會加劇濾波器對組件變化和增益變化的靈敏度。一級增益的增加要求該級用于設置濾波器和增益的阻容元件具有更小的阻容容差。當然現(xiàn)在已經(jīng)可以提供這樣的元件。

　　參考資料 1 的設計流程傾向于增大電阻，讓電阻產(chǎn)生的噪聲與運算放大器固有噪聲相比可忽略不計。同時設置 1/R2C2 極點，使之降低濾波器級的內部噪聲增益峰值(圖 1)

　　圖1. 基本的 SKF 二階低通濾波器

　　在各級增益分配中對要求的運算放大器帶寬的考慮

　　圖 1 所示的設計要成功實施，必須估算出最低的放大器閉環(huán)帶寬。通常，如果要求放大器帶寬乘數(shù)是目標 Fo 的 100 倍到 200 倍，就比較容易實現(xiàn)。更為復雜的設計會根據(jù)該級增益和目標 Q 值來計算目標帶寬，從而得到放大器帶寬隨 Fo 和 Q 值變化而變化的理想靈敏度。

　　帶寬乘數(shù)計算隨 Q 值變化(在給定增益下)的示例見圖 2。該圖顯示的是圖 1 電路的放大器帶寬與 Fo 之比，其目的是提供恰好足夠的放大器帶寬，實現(xiàn)高精度的濾波器實施方案，從而在帶寬變化為 15% 的情況下，F(xiàn)o 變化不超過 2%(參考資料 3)。使用帶寬裕量高于本設計的放大器當然是可以的，不過本設計的目的是降低成功設計的門檻。

　　圖 2. 所需的運算放大器帶寬與增益和 Q 值的關系

　　要注意的是，本圖重點強調帶寬。這樣可以使用電流反饋放大器 (CFA) 或電壓反饋放大器 (VFA) 器件來實現(xiàn) SKF 拓撲。CFA 器件在一定的增益范圍內，能夠保持恒定的閉環(huán)帶寬，故特別適合用于實現(xiàn)高增益。本圖(根據(jù)參考資料 1 的算法得出)在這個方面表現(xiàn)得特別明顯。舉例來說，在增益為 2，Q 值為 0.5 的情況下，它只需要 7 倍的帶寬裕量。在 25 倍帶寬裕量下，增益可以達到10，Q 值達到 4.5。這些相對適度的設計裕量允許使用更多種類的物理器件來實現(xiàn)特定的濾波器標準，但需要使用某些支持該帶寬的可以調整組件的算法，才能達成濾波器的設計標準。采用理想等式來計算阻容值的設計流程需要放大器帶寬具有更大的裕量。

　　若使用 VFA 器件，需要進行如下修正：將每個數(shù)據(jù)點與增益相乘，得到所需的增益帶寬積與 Fo 的比例。如圖 3所示，所有的曲線都上移并展開。

　　圖 3. 給定增益條件下所需的帶寬增益積與 Q 值參數(shù)

　　這里我們可以開始研究使用 VFA 器件構建的簡單二階 SKF 實現(xiàn)更高 Q 值和更高放大級增益所需的某些極端乘數(shù)。舉例來說，如果增益為 10、Q 值為 1，本曲線說明我們需要增益帶寬積至少為 215xFo 的放大器。在 Fo 為 1KHz 時，這個要求并不難實現(xiàn)。但是如果 Fo 大于 1MHz，就會比較困難。這就是為什么具有級增益的更高速 SKF 傾向于使用 CFA 運算放大器的原因。

　　設計一款實用、分立式運算放大器的多級有源濾波器要求每一級的帶寬只要滿足本級的需要即可。一般來說，過大的帶寬裕量是有代價的，或會增加功耗，或會增加購買成本。此外，在各級的帶寬和壓擺率要求能夠保持在大致相當?shù)姆秶鷥鹊臈l件下，還可以使用由統(tǒng)一基礎放大器型號構成的多通道器件來實現(xiàn)多級濾波器。在理想條件下，可以通過在圖 2 或者圖 3 上畫一條水平線來獲得完全相同的帶寬要求，然后使用水平線與參數(shù)曲線的交叉點來設置每一級的增益和 Q 值。然而，由此引申的更加直觀的解讀足以滿足我們的需要。這些曲線明確地說明，隨著一級 Q 值或者 Fo 的增加，該級分配的增益應該減少。除了Butterworth 濾波器的每一級Fo 值都相等，其他濾波器在大于三階的情況下，每級的 Fo 都會發(fā)生變化。多數(shù)典型的低通濾波器的形態(tài)是 Fo隨 Q 值增大。這使所需放大器的帶寬受到的影響大于 圖2和圖3中顯示的Q 值相關性的影響(如圖 2 和圖 3 所示)，但這種影響很大程度上要取決于所選擇的特定濾波器的形狀。

　　下面將舉例說明這種影響。以一個六階、0.5 度等紋波相位低通濾波器為例。該濾波器 Fcutoff 為200KHz，總體增益為 10。我們首先采用增益逐級遞增， Q 值逐級遞減的方法，然后采用反向操作，增益逐級遞減的方法，然后將每種方法估算的最低放大器帶寬和增益帶寬積記錄在表格里。后者對是否只能對這些級采用 VFA 非常重要。該濾波器形狀在輸出端具有非常出色的低過沖階躍響應，但在濾波器內部各級會產(chǎn)生一定程度的振鈴和過沖現(xiàn)象。

　　圖 4 所示的設計按照參考資料 1 的思路，共分為三級。Q 值最高的一級放在第一級，增益最低;中間一級 Q 值略低，增益略比第一級大;最后一級 Q 值最低，增益最大。可見從左到右 Fo 逐漸減小，增益逐漸變大。

　　圖 4. 此增益和 Q 值分配更為接近帶寬和壓擺率要求

　　另外，我們也可以采用更為常見的方式來設計，將第一級的增益設置為最大，逐級遞減。一般來說，這樣可以提供更低的輸入?yún)⒖荚肼暋＿@對低頻率來說是可行的，但不會像想象的那樣對整體輸出噪聲產(chǎn)生太大影響。圖 5 所示為同樣的濾波器標準，三級增益分別按 5、2、1 排序，實現(xiàn)了相同的整體濾波器形態(tài)。同時 Q 值和 Fo 排序從輸入到輸出也呈現(xiàn)出由高到低的態(tài)勢。

　　圖 5. 使用更常見的設計流程的增益和 Q 值分配

　　使用生成上面曲線的算法，我們可以把估算的最低放大器帶寬乘以該級增益，得到每一級所需的增益帶寬積，并制成表格。雖然這種算法只在參考資料 1 中有所提及，但大多數(shù)設計工具有類似的 通過Fo、Q 值和增益得到所需的放大器帶寬的計算，因此得出的結果也是類似的。我們還可以計算出每一級所需的壓擺率峰值。具體計算將在后文介紹。我們這里的目標是實現(xiàn) 4Vpp 的最終輸出擺幅，通過綜合每一級輸出的標稱擺幅和 Q 值較高級的過沖階躍響應導致的 增大了的dV/dT 峰值，我們可以估算出所需的壓擺率峰值。

　　上述表中文字

　　圖6. 所需的增益帶寬積和壓擺率的比較

　　每種方法對帶寬的要求體現(xiàn)出值得注意的差異。很明顯第二種方法要求的帶寬增益積變化較大(35：1，而第一種方法的帶寬增益積基本是恒定的)。此外，由于現(xiàn)在頭兩級要求較高的壓擺率，與第一種設計相比，參考資料 1 提出的設計流程需要在頭兩級采用速度較高的器件(圖 5)，(ISL28191 的 GBP 是 61MHz，ISL28114 的 GBP 是 7.7MHz)。最后一級的壓擺率保持不變，但前面兩級現(xiàn)在要求更高的壓擺率。最終的輸出總是在固定的目標輸出步長和濾波器整體形態(tài)下達到相同的壓擺率，不過第一種設計在前兩級要求較低的峰值壓擺率，這在每一級都使用同樣的放大器的情況下，是更加受歡迎的。

　　雖然可能找到某種“優(yōu)化”算法來實現(xiàn)準確的增益分配，以得到固定的增益帶寬標準，但以本文所述的大略的方法來分配增益可以便于歸集所需的放大器帶寬。出于多種原因，在濾波器級數(shù)超過一級的情況下，高 Q 值的級增益應保持較低，而如果需要更為一致、適中的放大器帶寬標準，應更多地將總增益分配到較低Q 值的級上。這樣還會得到較低的 Q 值隨 Ko 變化的靈敏度。

　　但是如果把設計 1 中的 Q 值從輸入到輸出由高到低排序會怎么樣呢?這樣確實看起來更能保持各級所需壓擺率的一致性，另外還可以在削波和整體噪聲方面體現(xiàn)出優(yōu)勢。

　　二階階躍響應所需的壓擺率峰值計算

　　多級有源濾波器的每一級都會產(chǎn)生輸出電壓轉換，這就要求限制最大 dV/dT。在這個由階躍響應主導的例子中，如果該 dV/dT 超過了選定的運算放大器的額定壓擺率，階躍響應通常會大幅偏離預期值。因此，在謹慎的增益和 Q 值排序方法中，我們需要考慮內部和輸出級對 dV/dt 峰值的隱含要求。頻域主導的應用會對每一級輸出都有隱含的壓擺率要求。在這種情況下，以總體響應的 SFDR來作為 標準會更加有意義，但這方面的討論已經(jīng)超出了本文的范圍，不過可以得出與本例使用的階躍響應主導的分析類似的結論。

　　雖然多級有源濾波器內部實際的波形在時域上可以非常復雜，但可以采用合理的保守方法，把每一級當成受到了理想的輸入階躍激勵來分析。任何真實的濾波器產(chǎn)生的級間輸入的邊緣速率都會低于理想階躍，這樣就給我們一些設計裕量，并允許使用較為簡單的等式。

　　如果我們假定任一二階低通濾波器級受到理想輸入階躍激勵后會產(chǎn)生 Vopp 的目標擺幅，我們就可以通過分析輸出時間波形得出 dV/dt 峰值。有意思的是，其結果在文獻中很難找到，不過從參考資料 4(等式 55)，我們可以得到一個簡單的近似等式，如等式 1 所示。

　　等式 1

　　如果我們知道理想的輸出端完整步長以及第二級的 F-3db，這個近似等式可以幫助我們很方便地得出 dV/dt 峰值。我們可以通過下面的式子從目標濾波器極點得到F-3dB

　　等式 2

　　根據(jù)設計 1 和設計 2 所舉的例子，每一級 F-3db 的值計算如表 1 所示。(記住我們保持 Q 值和 Fo 排序不變，只是簡單地分配了不同的增益，使濾波器內部的階躍幅度不同)

　　表 1.

　　那么我們再來觀察 Q 值最高的一級，這一級通常也有最高的 Fo，也就是最大的帶寬。如果我們能夠推測出固定的最大輸出 Vpp 標準，就可以讓等式 1 的結果落在更小的范圍內。最簡單的方法是隨 F-3db 帶寬的增加，降低所需的 Vstep。設計 1 實際上就是通過在輸入級使用更低的增益做到了這一點。而設計 2 顯示了沒有降低較高 Q 值級(圖 6)所需的 Vstep 得到的壓擺率結果(如圖 6 所示)。圖 6 顯示的設計 1 和設計 2 的壓擺率是以 4Vpp 的最終輸出目標擺幅為條件得出的。具體是使用等式 1 計算出該輸出條件下的壓擺率(使用 2 倍乘數(shù)以得到額外裕量)，然后用該級標稱擺幅除以該級標稱增益得出由前一級進入最后一級的步長，最后使用該擺幅和該級的 F-3db 計算所需的壓擺率，依次類推回第一級。

　　每個 Q 值較高的級都會在階躍響應中產(chǎn)生相當大的過沖。設計 1 通過讓有較高過沖的級的擺幅較低，并從輸入到輸出逐步增大階躍擺幅來避免削波。設計 1 的階躍響應仿真運行結果(參考資料 1)得出的階躍響應如圖 7 所示。該圖展示了通過濾波器每一級的輸入和輸出電壓。注意擺幅的逐漸增大和最終輸出級極低的過沖。這是這種類型濾波器形態(tài)的典型特征。其在 +/-2.5V 雙極電源下產(chǎn)生 +/-2V 雙極性擺幅。

　　圖 7. 設計 1 的階躍響應仿真

　　相比之下，設計 2 的階躍響應在級間出現(xiàn)了削波，導致非常不理想的仿真響應結果。這是因為第一級的增益較大導致設計中較早出現(xiàn)了大擺幅。如圖 8 所示，仿真中宏模型正確的預計到第二級的輸出會出現(xiàn)削波，而最后一級將其干凈地濾除了。

　　圖 8. 設計 2 的階躍響應出現(xiàn)削波

　　這明顯比設計 1 的效果差。雖然這是個有些極端的例子，但這也確實說明了用最后一級增益來降低級間削波風險的重要意義。

　　多級濾波器 Q 值排序對噪聲增益峰值的考慮

　　對曾經(jīng)測量過 SKF 濾波器輸出噪聲頻譜的人來說，都會有些驚訝地發(fā)現(xiàn)噪音峰值有多么高。SKF 濾波器的一項最不為人注意的特性是其高峰值噪聲增益在某種程度上可以通過認真選擇電阻值來減輕。

　　運算放大器線路的“噪聲增益”指輸出電壓的分壓比與差分輸入電壓比值的倒數(shù)。這也給出了運算放大器自身的輸入噪聲電壓到輸出端的增益的頻率響應。同樣它還是運算放大器開環(huán)增益與該噪聲增益的比，即 SKF 濾波器內部通帶頻率上的環(huán)路增益。這是極為有用的因子，它說明環(huán)路增益越大，諧波失真越低。因此，出于多種原因考慮，應了解并盡力降低 SKF 的噪聲增益峰值。

　　等式 3 所示的是圖 1 二階低通 SKF 濾波器的噪聲增益拉普拉斯傳遞函數(shù)的基本形式。分子是一個二次多項式，實數(shù)零點分布在較寬的范圍內(一個小于 ω0，一個大于 ω0)，而分母的極點是濾波器需要的極點。這個分母的表達式實際上是導入增益元件前的無源2 R和2 C電路的極點等式(將圖 1 中的放大器從電路中去除，讓 C2 接地，就可以得到 C2 之上的從輸入到輸出端的傳遞函數(shù)，而這個表達式的極點就是 SKF 噪聲增益表達式的分母)。

　　等式 3 噪聲增益?

　　分母等式與所需的濾波器響應一致。如果我們在分母的線性系數(shù)中用 Ko/R2C2 項來做替代，然后按濾波器指標項重寫等式，我們會發(fā)現(xiàn)實際上我們在噪聲增益響應方面沒有多少裕量。

　　等式4 濾波器指標項的噪聲增益?

　　除 1/R2C2 極點外，該等式中的每一項都已經(jīng)被所需的濾波器形態(tài)、DC 增益以及 Ko 決定了。這種現(xiàn)象在某種程度上可以用來降低噪聲增益峰值，但噪聲增益峰值主要還是受控于所需的濾波器 Q 值。簡單地說，最好讓 SKF 濾波器的 R1/R2 值大致處于 0.15 至 0.7 之間。使該比例盡量接近 0 從數(shù)學上來說是準確無誤的，這樣可以減少噪聲增益峰值，但 R1 為 0 又會帶來其它問題。

　　所以噪聲增益在頻率范圍內始于 Ko，終于 Ko。在 ω0 附近，由于極點等式反映的所需的濾波器形態(tài)(Q >.707 會在所需的頻率響應內形成峰值)和低于 ω0 時形成的零點造成的峰值，因此會有較大峰值出現(xiàn)。一個顯然的問題是運算放大器環(huán)路內的噪聲增益峰值是否會影響穩(wěn)定。在峰值位于放大器開環(huán)響應范圍內的時候會影響穩(wěn)定。不過，即便在圖 1 和圖 2 所示的極低帶寬裕量條件下，噪聲增益曲線與開環(huán)增益的交點也會遠高于下面所示的峰值。但是這個問題說明了不要采用太大的放大器帶寬與 Fo 乘數(shù)。理論上講，可以使用幾乎任何放大器帶寬，通過迭代，得到所需濾波器形態(tài)要求的電阻值和電容值。不過讓放大器帶寬與 Fo 的比值過大就會引起局部環(huán)路穩(wěn)定問題。

　　圖 9 所舉示例顯示的是設計 1 第一級的噪聲增益幅度。它采用參考資料 1 的設計算法，首先控制 R1+R2 的值使加在運算放大器自身的噪聲近乎可以忽略，然后在上面建議的范圍內設置 R1/R2 比例。

　　圖 9. 設計 1 第一級的噪聲增益幅度

　　這里的初始增益是 1.5V/V，最終的噪聲增益是 3.56dB。在 414KHz 的 Fo 頻率附近，我們發(fā)現(xiàn)了峰值驚人，增益增加了近 11.4dB，高達 15dB，是濾波器所需增益的 3.7 倍。這一級所需的濾波器形態(tài)只體現(xiàn)出了從 3.56dB 的DC 增益到最大 增益8.44dB 的峰值，遠遠低于隱藏于該響應中的噪聲增益峰值。如果該較高 Q 值級還能提供更多濾波器總增益，整個曲線將會上移。這將在后面演示。

　　謹慎起見，應該在該超高噪聲峰值之后安排 Q 值更低、Fo 更低的級。這樣可以過濾這些峰值，實現(xiàn)較低的整體輸出噪聲。

　　圖 10 顯示的是設計 1 濾波器每一級的輸出噪聲。它包含了根據(jù)參考資料 1 生成的設計的全部參數(shù)、噪聲電壓、噪聲電流以及電阻噪聲。前兩級的輸出有明顯的噪聲峰值，但最終輸出噪聲峰值近乎可以忽略，因為最后一級的 Q 值較小。這里的噪聲峰值在 190KHz 時為 1.76µV/√Hz。

　　圖 10. 設計 1 的輸出噪聲圖

　　讓我們回到設計 2，采用 ISL28113 來完成設計，根據(jù)下面的噪聲圖(設計中經(jīng)設置電阻后會以運算放大器噪聲電壓為主，故該圖主要體現(xiàn)的是運算放大器的電壓噪聲效果)進行輸出噪聲的公平比較。該圖顯示前兩級都出現(xiàn)了明顯的噪聲峰值，但由于最后一級 Fo 和 Q 值相對較低，起到了良好的濾除作用。該圖顯示 200KHz 時噪聲峰值為 1.49µV/√Hz，略低于設計 1。

　　圖 11. 設計 2 的輸出噪聲

　　因此，在這種情況下，把增益更多地放在第一級確實可以輕微降低總輸出噪聲。但一定要把Q 值最低的一級布置在最后，這一點是非常重要的。把 Q 值最高的級放在后面的設計會導致最高的整體噪聲。即便該級的 DC 增益只有 1，其較高的頻率峰值也會形成不理想的整體噪聲結果。

　　有興趣的話，還可以計算出兩個設計的輸出噪聲 Vpp。計算的方法是將頻率范圍內的輸出噪聲功率相加得到(Vrms)2，然后開方，將平方根乘以 6 就得到大致的噪聲 Vpp。圖12顯示的是如果兩個濾波器后接截止頻率在x軸上的矩形噪聲濾波器的情況下估算測得的輸出噪聲Vpp。

　　圖 12. 設計 1 與設計 2 的綜合輸出噪聲電壓比較

　　舉例來說，我們在 200KHz 六階設計后接一個 500KHz 的矩形濾波器，我們可以在設計 2 上測得大約 5mVPP，在設計 1 上測得 6mVPP。總體來說，這點差異不會給設計 1 前邊提到的優(yōu)勢在噪聲方面造成太大影響。

　　所以在這種情況下，將增益更多地排布到第一級可以帶來某些噪聲方面的優(yōu)勢。但這里的想法是建議把 Q 值適中、增益適中的級放在第一級，隨后是 Q 值最大、增益較低的級，最后是 Q 值最低、增益較高的級。如參考資料 1 所提供的自動設計算法，把 Q 值從高到低排序，把增益從低到高排序，可以在放大器帶寬、壓擺率一致性、階躍響應過沖以及削波性能方面實現(xiàn)優(yōu)異的特性，只是在某些情況下輸出噪聲有適度的增加。

　　結論：

　　如果多級低通有源濾波器的目標之一是在每級使用相同的放大器的同時，降低對運算放大器的設計裕量要求，那么給 Q 值較高的級分配更低的增益是非常合理的選擇。為避免最終輸出出現(xiàn)噪聲峰值，最好把 Q 值最低的級放在最后。為限制級間削波，在濾波器總增益大于 1的情況下，該低Q 值級應具有一定的增益(盡可能大于 2)。增加第一級的增益可以略微減少輸出噪聲，而將具有低增益的最高 Q 值級放在中間可以略微改善噪聲特性。