0 引 言

　　偽噪聲序列(PN序列)可應(yīng)用于擴(kuò)頻通信、信息加密、計(jì)算機(jī)仿真等領(lǐng)域。PN序列發(fā)生器需要一個(gè)隨機(jī)信號(hào)源和一系列的離散、量化算法及其硬件實(shí)現(xiàn)技術(shù)。確定性的混沌可以復(fù)制，具有長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性，且很難區(qū)分一個(gè)信號(hào)是來(lái)自于非確定性系統(tǒng)還是混沌系統(tǒng)。因此,混沌滿(mǎn)足密碼系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基本原則，利用混沌系統(tǒng)作為PN序列的信號(hào)源已引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注與研究。

　　基于Logistic映射產(chǎn)生PN序列已有不少研究。文獻(xiàn)[7]利用模擬電路研究了其實(shí)現(xiàn)技術(shù)，由于混沌對(duì)初值和參數(shù)的敏感性，兩個(gè)模擬電路實(shí)現(xiàn)的PN序列，其電路參數(shù)不可能完全匹配，且受環(huán)境條件的變化而出現(xiàn)失配現(xiàn)象，很難保證保密通信或信息加密中兩個(gè)PN序列的完全同步。因此，近年來(lái)開(kāi)展了基于數(shù)字電路(如FPGA)的PN序列的實(shí)現(xiàn)研究，但現(xiàn)有的研究中大多進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，無(wú)法保證硬件實(shí)際輸出PN序列的產(chǎn)生及其性能的測(cè)試。為此，基于FPGA技術(shù)，利用Logistic混沌映射作為隨機(jī)信號(hào)源對(duì)實(shí)現(xiàn)PN序列的硬件進(jìn)行了深入研究，提取Logistic數(shù)值序列中二進(jìn)制數(shù)的某一位bi(bi∈{0，1})為PN數(shù)字序列，實(shí)驗(yàn)中獲得了硬件輸出序列，并通過(guò)一個(gè)串口通信電路對(duì)硬件輸出序列進(jìn)行取樣，對(duì)其進(jìn)行序列統(tǒng)計(jì)性能分析。分析結(jié)果表明，基于Logistic的PN序列性能良好，滿(mǎn)足PN序列測(cè)試的標(biāo)準(zhǔn)。

　　1 Logistic映射

　　Logistic方程如下：

　　式中：Xn∈(0，1)；μ∈(0，4)，當(dāng)μ取值[3．571 448，4]時(shí)，Logistic映射進(jìn)入混沌態(tài)，并表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性。在此取μ=4，令Xn的初值Xo=O．312 5，則xn的時(shí)間序列和吸引子相圖如圖1所示。

　　2 Logistic映射的電路設(shè)計(jì)及時(shí)間序列的量化

　　DSP Builder。將Matlab和Simlalink系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)工具的算法開(kāi)發(fā)、仿真和驗(yàn)證功能與VHDL綜合、仿真和開(kāi)發(fā)工具整合在一起，實(shí)現(xiàn)了這些工具的集成，將系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)的實(shí)現(xiàn)與DSP算法的開(kāi)發(fā)相鏈接，涵蓋了算法和存儲(chǔ)功能等基本操作。可利用DSP Builder模塊迅速生成算法硬件電路，并轉(zhuǎn)成VHDL語(yǔ)言，大大縮短了FPGA的設(shè)計(jì)周期。圖2為L(zhǎng)ogistic的DSP Builder電路實(shí)現(xiàn)模型。

　　圖2中為消除毛刺，在各輸出端加入了一個(gè)延時(shí)器。其中，xout為Xn+1的時(shí)間序列；yout為其延時(shí)一個(gè)時(shí)鐘周期后的輸出，即Xo。xout與yout都是以二進(jìn)制數(shù)表示的一系列小數(shù)(xn∈(0，1))，可表示為：

　　因?yàn)闀r(shí)間序列Xn的數(shù)值是用二進(jìn)制數(shù)表示的，隨著迭代的不斷進(jìn)行，Xn將隨之變化，此時(shí)其二進(jìn)制表示中的某一位(O或1)也隨之變化。因此可以提取Xn時(shí)間序列中某一位二進(jìn)制位作為量化值，當(dāng)Xn的時(shí)間序列值隨時(shí)間變化時(shí)即生成一PN序列。圖2中的XoutBit為PN序列的輸出端，它取自Xn二進(jìn)制數(shù)表示中的第9位。后面的分析表明，這種量化方法同樣具有很好的混沌性能和隨機(jī)性。

　　為了驗(yàn)證圖2電路模塊的正確性，對(duì)Logistic的模塊電路進(jìn)行仿真，其時(shí)間序列和吸引子如圖3所示。比較圖3和圖1發(fā)現(xiàn)，利用DSP Builder設(shè)計(jì)的電路有效地實(shí)現(xiàn)了Logistic映射的功能。

　　3 基于FPGA的PN序列實(shí)現(xiàn)

　　圖2中，xout與yout具有相同的k及l(fā)值，k=1，l=9，即k+l=10。因?yàn)樗褂玫腇PGA開(kāi)發(fā)板自帶THS5651DA轉(zhuǎn)換器接受的是10引腳數(shù)據(jù)，k+l=10可實(shí)現(xiàn)匹配。盡管xout在最后輸出前轉(zhuǎn)成了10位長(zhǎng)度，但在整個(gè)內(nèi)部運(yùn)算環(huán)節(jié)，是50位長(zhǎng)度的，有限字長(zhǎng)明顯大于10，這樣可以最大限度地保持精度，減少有限字長(zhǎng)效應(yīng)帶來(lái)的誤差，有效實(shí)現(xiàn)混沌的非周期特性。

　　理論上混沌序列是非周期的，但因?yàn)樵谑褂糜邢拮珠L(zhǎng)表示混沌狀態(tài)的情況下，加上運(yùn)算結(jié)果的近似化，混沌序列最終會(huì)演化為一個(gè)周期序列。但是可以通過(guò)加長(zhǎng)有限字長(zhǎng)來(lái)延長(zhǎng)周期。從實(shí)用的角度看，只要設(shè)計(jì)得好，映射和分叉參數(shù)選擇合適，所產(chǎn)生的序列周期將足夠長(zhǎng)，序列的相關(guān)特性將足夠好，可用的序列數(shù)量將足夠多，可認(rèn)為位轉(zhuǎn)換就已夠用，因?yàn)橥ㄐ诺臅r(shí)間不可能無(wú)限長(zhǎng)。研究還發(fā)現(xiàn)，混沌映射產(chǎn)生的有限字長(zhǎng)周期序列具有正的最大Lyapllnov指數(shù)。

　　將圖2所示的圖形化模塊通過(guò)“Signal Corepiler”直接轉(zhuǎn)化為硬件描述語(yǔ)言，再利用QuartusⅡ進(jìn)行編譯，其仿真時(shí)序圖見(jiàn)圖4。其中，Output為抽取的混沌數(shù)字PN序列，即圖2中的XoutBit；Outputl和Output2分別為Xn+1和Xn。

　　把工程文件在CycloneⅡ的EP2C35F484C8進(jìn)行編譯和引腳分配并下載到該芯片進(jìn)行硬件實(shí)驗(yàn)，從數(shù)字示波器上觀察到的PN序列如圖5(a)所示。為了驗(yàn)證硬件實(shí)現(xiàn)的精度，通過(guò)THS5651芯片對(duì)得到的混沌數(shù)字信號(hào)進(jìn)行D／A轉(zhuǎn)化，再通過(guò)示波器觀察其時(shí)間序列和吸引子，如圖5(b)，圖5(c)所示。

　　4 PN序列隨機(jī)性分析

　　為了對(duì)硬件輸出的PN序列進(jìn)行性能測(cè)試，首先通過(guò)一個(gè)串口通信模塊電路對(duì)FPGA輸出的數(shù)字PN序列進(jìn)行采樣，然后利用計(jì)算機(jī)對(duì)其進(jìn)行隨機(jī)性能分析。這里采用的FPGA開(kāi)發(fā)板其內(nèi)核為CycloneⅡ的EP2(235F484C8，外圍電路提供了USB口、并行I／O以及串口等一系列可供用戶(hù)選擇的端口。抽取Xn二進(jìn)制表示的小數(shù)部分的第9位作為比特序列，并通過(guò)串口來(lái)實(shí)時(shí)獲得該位在一定時(shí)間段t內(nèi)的所有值，其串口通信模塊電路如圖6所示。

　　為了確保計(jì)算機(jī)在接收該序列時(shí)不出現(xiàn)比特丟失現(xiàn)象，可預(yù)先向計(jì)算機(jī)發(fā)送一組周期序列來(lái)保證數(shù)據(jù)的可靠性。假設(shè)串口傳輸波特率為9 600，系統(tǒng)晶振為20 MHz，為了得到整數(shù)倍的分頻，可根據(jù)公式：

n=(20×106×k)／9600

　　令k=3，則可得出n為6 250。其中，比例因子k可通過(guò)鎖相環(huán)來(lái)獲得。上述兩步驟可通過(guò)在QuartusⅡ中添加鎖相環(huán)代碼與分頻器代碼實(shí)現(xiàn)。此時(shí)，讓系統(tǒng)時(shí)鐘T=1／9 600再經(jīng)過(guò)二分頻后通過(guò)串口輸出，如果在接收端收到“01010”的周期序列，則表明FPGA與計(jì)算機(jī)之間的通信無(wú)問(wèn)題。

　　5 PN序列隨機(jī)性能分析

　　5．1 頻率測(cè)試(Frequency Test)

　　該測(cè)試可用來(lái)判斷序列當(dāng)中0和1的個(gè)數(shù)是否近似相等，若近似相等，則符合隨機(jī)序列的必要條件。令n0,n1分別代表0與1的個(gè)數(shù)；n代表序列s的長(zhǎng)度。

　　該統(tǒng)計(jì)方程為：

T1=(n0-n1)2／n

　　若n≥lO，則T1近似符合1維自由度的x2分布。

　　對(duì)采集到的PN序列進(jìn)行自由度為l的x2檢驗(yàn)，取顯著性水平α=0．05，可以從標(biāo)準(zhǔn)表中查到顯著性水平a=O．05的x2值為3．84。如果T1值小于3．84，則該序列通過(guò)測(cè)試。n0,n1和T1的測(cè)試值如表l所示，由此可知，該序列的T1值遠(yuǎn)小于3．84，通過(guò)測(cè)試。

　　5．2 串列測(cè)試(Serial Test)

　　該測(cè)試可用來(lái)判斷序列中00，01，10，11子序列的個(gè)數(shù)是否近似相等。若近似相等，則符合隨機(jī)序列的必要條件。令n0,n1分別代表0與1的個(gè)數(shù)，而n00,n01,n10，n11分別代表s序列中00，01，10，11的個(gè)數(shù)。由于n00+n01+no+nll=n-l，該統(tǒng)計(jì)方程為：

　　若n≥21，則T2近似符合2維自由度的x2分布。對(duì)序列進(jìn)行自由度為2的x2檢驗(yàn)。顯著性水平α置為O．05，查標(biāo)準(zhǔn)表得此時(shí)的x2值為5．99。測(cè)試結(jié)果如表2所示，T2=O．352 5《5．99，通過(guò)測(cè)試。

　　5．3 Poker測(cè)試(Poker Test)

　　令m為符合(n／m)≥5×2m的正整數(shù)，并令k=n／m。將序列s分成k個(gè)不重復(fù)的部分，每部分的長(zhǎng)度為m，令ni為第i個(gè)長(zhǎng)度為m的序列標(biāo)號(hào)，1≤i≤2m。Poker測(cè)試可用來(lái)確定ni在序列s中，長(zhǎng)度為m的各個(gè)不同子序列出現(xiàn)的概率是否近似相等。該統(tǒng)計(jì)方程為：

　　式中：T3近似符合2m-1維自由度的x2分布。值得注意的是，頻率測(cè)試其實(shí)是Poker測(cè)試的一個(gè)特例，令m=1，Poker測(cè)試即成為了頻率測(cè)試。分別取m=1，2，3，4，5，6，對(duì)待測(cè)序列進(jìn)行自由度為2m-1的x2檢驗(yàn)，結(jié)果列于表3。由表3可見(jiàn)，對(duì)于不同m值的T3值均小于對(duì)應(yīng)的x2值，通過(guò)測(cè)試。

　　5．4 游程測(cè)試(RLins Test)

　　該測(cè)試的目的是為了判斷s序列中不同長(zhǎng)度的游程是否具有隨機(jī)序列的游程特性。理論上，在一個(gè)長(zhǎng)度為n隨機(jī)序列中，長(zhǎng)度為i的連續(xù)O或連續(xù)1的期望值為ei=(n—i+3)／2i+2。令k為當(dāng)ei≥5時(shí)的最大的i；Bi，Gi分別為各個(gè)block和gap的個(gè)數(shù)。游程測(cè)試的統(tǒng)計(jì)方程為：

　　則T4近似符合2k-2維自由度的χ2分布。

　　分別取i為1，2，3，4，5，6，7，8，9。對(duì)本序列，k值為9，所以可對(duì)T4進(jìn)行自由度為16的χ2檢驗(yàn)。查標(biāo)準(zhǔn)表知自由度為16的χ2值為26．3。將上述數(shù)值代人統(tǒng)計(jì)方程，運(yùn)算得T4=19．883 1<26．3，通過(guò)測(cè)試。其測(cè)試結(jié)果如表4所示。

　　5．5 自相關(guān)測(cè)試(Autocorrelation Test)

　　該測(cè)試是為了檢測(cè)s序列與其(非循環(huán)的)移動(dòng)后的序列的相關(guān)性。令d為一個(gè)整數(shù)，1≤d≤(n／2)。比較s序列和它移動(dòng)d位之后的序列，兩者不同的位的數(shù)目可由計(jì)算得出。⊕表異或運(yùn)算。自相關(guān)測(cè)試的統(tǒng)計(jì)方程為：

　　當(dāng)，n-d≥10時(shí)，T5近似符合N(O，1)分布。

　　為判斷序列是否符合N(O，1)分布，可用余誤差函數(shù)計(jì)算再將erfc(z)與顯著性水平α=O．05比較，若大于它，則通過(guò)測(cè)試，測(cè)試結(jié)果如表5所示。由檢驗(yàn)結(jié)果可知，每一個(gè)erfc(z)都大于a，通過(guò)測(cè)試。

　　6 結(jié) 語(yǔ)

　　利用Logistic混沌映射作為隨機(jī)信號(hào)源，基于FP-GA技術(shù)研究了PN序列的硬件產(chǎn)生。通過(guò)對(duì)產(chǎn)生的PN序列進(jìn)行性能分析發(fā)現(xiàn)，其具有很好的隨機(jī)性，可被應(yīng)用于擴(kuò)頻通信和數(shù)字信息加密等領(lǐng)域。由于直接以離散混沌作為隨機(jī)信號(hào)源，相對(duì)于將連續(xù)混沌離散化后再量化產(chǎn)生PN序列，其精確度更高。由于數(shù)字序列是通過(guò)抽取二進(jìn)制數(shù)值中某一位產(chǎn)生的，只要迭代值的位數(shù)足夠多，序列的可變性就更大，從而增大了密鑰空間和通信的保密性。