0 引言

    目前基于傳感器的溫度補(bǔ)償方法主要分為模擬硬件設(shè)計(jì)和數(shù)字信號(hào)處理兩種方法。模擬硬件通常采用PTAT^[1]和CTAT^[2]等技術(shù)來(lái)設(shè)計(jì)讀出電路。數(shù)字信號(hào)處理方法通常包括線性擬合、最小二乘多項(xiàng)式^[4]擬合、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)^[4]、卡爾曼濾波^[3]、支持向量機(jī)等算法。本文在這些算法的基礎(chǔ)上提出一種雙指數(shù)函數(shù)模型的溫度補(bǔ)償算法，有以下優(yōu)點(diǎn)：

    (1)指數(shù)函數(shù)具有無(wú)限階的泰勒展開(kāi)式，因此雙指數(shù)函數(shù)在對(duì)諸如傳感器溫度系數(shù)曲線這類非線性曲線的擬合上可以達(dá)到很高的精度。

    (2)本文提出一種具有高精度初值的交替迭代法^[5]，即分離系數(shù)法。首先采用4組數(shù)據(jù)點(diǎn)，聯(lián)立方程組，求出非線性系數(shù)的初始值，其次利用交替迭代法計(jì)算得到優(yōu)化后的線性和非線性系數(shù)。整個(gè)算法解決了直接使用交替迭代法計(jì)算產(chǎn)生的迭代不收斂、精度較低、迭代次數(shù)較多的問(wèn)題。

    (3)在傳感器溫度補(bǔ)償中，由于雙指數(shù)函數(shù)系數(shù)只有4個(gè)，可以使用CORDIC算法設(shè)計(jì)硬件補(bǔ)償電路來(lái)集成到傳感器中，其中系數(shù)保存在ROM中即可，因此具有很好的工程實(shí)用價(jià)值。

1 交替迭代法擬合雙指數(shù)函數(shù)

    基于傳感器溫度補(bǔ)償?shù)碾p指數(shù)函數(shù)模型^[6-7]為式(1)。

    (5)重復(fù)步驟(2)、(3)和(4)，使線性系數(shù)和非線性系數(shù)計(jì)算交替進(jìn)行，直到均方誤差Δ滿足給定的范圍為止。

    交替迭代法僅使用非線性系數(shù)作為初值，在一定程度下降低了初值選取難度，不過(guò)對(duì)非線性系數(shù)依然有依賴性，因此在擬合過(guò)程中，非線性系數(shù)初值的選取就起到了至關(guān)重要的作用。

2 分離系數(shù)法計(jì)算非線性系數(shù)初值

    本節(jié)采用分離系數(shù)法^[9]來(lái)計(jì)算非線性初值。具體算法如下：

    (1)在數(shù)據(jù)點(diǎn)中選擇4組數(shù)據(jù)點(diǎn){(V_tempi，V_outi)}，i=1，2，3，4。其中V_temp1<V_temp2<V_temp3<V_temp4，且V_outi同號(hào)。

    (2)將點(diǎn)1和點(diǎn)2帶入雙指數(shù)函數(shù)式(1)中得到式(4)和式(5)：

    (4)將點(diǎn)2和點(diǎn)3帶入式(1)可以得到與式(6)類似的方程，二者聯(lián)立可以消去線性參數(shù)α₂，得到式(8)，其中T₂由式(7)下標(biāo)加1得到。

    (5)將式(8)兩邊取對(duì)數(shù)再近似帶入中點(diǎn)微分消除對(duì)數(shù)可得式(9)，其中中間變量A₁、B₁、C₁、D₁表達(dá)式由式(10)所示：

    (6)再利用點(diǎn)2、3、4還可以導(dǎo)出類似于式(9)的方程，如式(11)。其中系數(shù)為式(10)下標(biāo)加1即可。

    (7)聯(lián)立式(9)和式(11)，消去一個(gè)非線性系數(shù)β₂，求解一個(gè)一元二次方程組得到另一個(gè)非線性系數(shù)β₁的兩個(gè)解，再由式(9)求得β₂。

    分離系數(shù)法采用數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)系數(shù)分離，最終將超越函數(shù)方程轉(zhuǎn)換為一元二次方程求解。采用該方法時(shí)可以多次嘗試不同的4點(diǎn)來(lái)對(duì)比擬合結(jié)果。一般來(lái)說(shuō)，觀測(cè)點(diǎn)相對(duì)密集和均勻時(shí)，誤差相對(duì)較小。得到精度較高的非線性系數(shù)初始值后，將計(jì)算得到的初始值，利用第一節(jié)介紹的交替迭代法計(jì)算線性系數(shù)并優(yōu)化結(jié)果，可以得到擬合精度較高的雙指數(shù)函數(shù)方程，為溫度補(bǔ)償提供較為精準(zhǔn)函數(shù)模型。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 雙指數(shù)函數(shù)擬合

    對(duì)兩組數(shù)據(jù)(x₁，y₁)和(x₂，y₂)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試，具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

    采用matlabR2013軟件對(duì)數(shù)據(jù)(x₁，y₁)和(x₂，y₂)進(jìn)行擬合。擬合結(jié)果如圖1、圖2所示。圖1(a)和圖2(a)采用本文提出的算法，首先算出高精度的非線性系數(shù)初始值，分別為β₁=17.614 6、β₂=1.314 7和β₁=-0.092 9、β₂=7.568 5，圖1和圖2(b)、圖2(c)采用不同的線性初始值進(jìn)行對(duì)比。表2和表3分別為對(duì)圖1和圖2三種擬合效果進(jìn)行定量分析，使用均方根誤差(RMSE)和確定系數(shù)(R_square)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。

    從表中結(jié)果可以看出，本文提出的算法，提高了初始值準(zhǔn)確性，降低了均方誤差，提高了確定系數(shù)，有較好的擬合效果。

3.2 基于傳感器溫度補(bǔ)償

    在本小節(jié)中，為了驗(yàn)證本文的算法和模型在傳感器溫度補(bǔ)償中的有效性，使用一款MEMS加速度計(jì)，在溫箱中進(jìn)行零位溫度循環(huán)實(shí)驗(yàn)。將采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，具體步驟如下：

    (1)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB中進(jìn)行數(shù)據(jù)理，取溫度循環(huán)實(shí)驗(yàn)中的全溫實(shí)驗(yàn)一段即V_temp從0.4 V～0.67 V（實(shí)際溫度相當(dāng)于-40 ℃～60 ℃）。

    (2)將數(shù)據(jù)進(jìn)行小波降噪和剔除奇異值。

    (3)采用移動(dòng)平均法進(jìn)行平滑處理并等間隔得采樣50個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為待擬合的數(shù)據(jù)。結(jié)果如圖3(a)、圖3(b)、圖3(c)、圖3(d)所示。

    圖4(a)、圖4(b)為擬合結(jié)果圖和最終補(bǔ)償結(jié)果圖。擬合結(jié)果RMSE=4.874 2×10^-5，R_square=0.994 3。將MEMS加速度計(jì)原始輸出進(jìn)行補(bǔ)償后，最大誤差(峰峰值)從1.851 3×10^-5下降到1.735 0×10^-5。減少了一個(gè)數(shù)量級(jí)。

4 結(jié)束語(yǔ)

    本文在現(xiàn)有溫度補(bǔ)償算法的基礎(chǔ)上，首先提出了一種雙指數(shù)函數(shù)模型的溫度補(bǔ)償方法。其次，在考慮到傳統(tǒng)的交替迭代法進(jìn)行雙指數(shù)函數(shù)擬合過(guò)程中由于初值選取不當(dāng)導(dǎo)致的迭代不收斂、精度較低、迭代次數(shù)較多的問(wèn)題時(shí)，提出一種分離系數(shù)法 ，該方法能夠有效地計(jì)算出高精度的初值，從而得到高精度的擬合結(jié)果。最終將算法應(yīng)用到傳感器溫度補(bǔ)償中，補(bǔ)償結(jié)果表明溫度系數(shù)曲線最大誤差降低了一個(gè)數(shù)量級(jí)。具有一定實(shí)用價(jià)值。下一步可以采用CORDIC算法將雙指數(shù)函數(shù)模型硬件實(shí)現(xiàn)，系數(shù)儲(chǔ)存在ROM中，設(shè)計(jì)一款數(shù)字補(bǔ)償電路集成到傳感器芯片中，只需要改變4個(gè)系數(shù)，代替單片機(jī)，實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化的溫度補(bǔ)償。

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作者信息：

劉一兵，李榮寬

（電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院，四川 成都611730）