楊義先，鈕心忻
（北京郵電大學 信息安全中心， 北京 100876）
0引言
“安全”與“信息”都是至今還沒有嚴格定義的概念。早在60年前，仙農創立了“信息論”，從而為現代通信的飛速發展奠定了堅實的基礎。但是，至今人們對“安全”的研究，特別是網絡空間安全的研究，還僅僅停留在“兵來將擋，水來土淹”的工程層次或技術層次，既缺乏全面系統的理論指導，又遺留了許多明顯的漏洞，比如，雖然大家都承認網絡空間安全是“三分技術，七分管理”，但是，全世界都將幾乎90%的精力聚焦于“三分技術”；而“七分管理”竟然無人問津，或者說只是片面地將“管理”理解為“頒布幾份規章制度”而已。
我們夢想建立一套基礎的通用安全理論，并以此來指導包括網絡空間安全在內的所有安全保障工作。本文是努力實現該夢想的第一步。
希望本文能夠激發國內外學者更多的后續研究。
1不安全事件的素分解
“安全”是一個很主觀的概念，與“角度”密切相關。同一個事件，對不同的人，從不同的角度來說可能會得出完全相反的“安全結論”，比如，“政府監聽公民通信”這件事，從政府角度來看，“能監聽”就是“安全”；而對公民來說，“能監聽”就是“不安全”。所以，下面研究“安全”，只鎖定一個角度，比如，“我”的角度。
“安全”是一個與時間密切相關的概念。同一個系統，在昨天安全，絕不等于今天也安全（比如，若用現代計算機去破譯古代密碼，簡直是易如反掌）；同樣，在今天安全，也絕不等于明天就安全。當然，一個“在昨天不安全”的系統，今天也不會自動變為安全。因此，下面研究“安全”，只考慮時間正序流動的情況，即，立足當前，展望未來（為突出重點，本文只考慮當前時刻的情況，帶時間的安全通論，將在后續論文中涉及）。
“安全”是一個與對象密切相關的概念。若A和B是兩個相互獨立的系統，若只考慮A系統的安全，那么，B系統是否安全就應該完全忽略。比如，若只考慮“我的手機是否安全”，那么，“白宮的電腦是否中毒”就可以完全忽略。因此，下面研究“安全”時，只鎖定一個有限系統，即該系統由有限個“元件”組成。
設A是一個封閉的獨立系統，如果直接研究其“安全”，根本無處下手！不過，幸好有“安全”=不“不安全”，所以，若能夠把“不安全”研究清楚了，那么“安全”也就明白了。
下面就以概率論為工具，從“我”的角度，沿著時間的正序方向（但只考慮當前狀態）來研究系統A的“不安全”。
假定A系統中發生了某個事件，如果它是一個對“我”來說的“不安全”事件，那么，“我”就能夠精確且權威地判斷這是一個“不安全的事件”（注意：除“我”之外，“別人”的判斷是沒有參考價值的，因為，本文只從一個角度來研究“安全”）。如果將該“不安全事件”記為D，那么，該事件導致系統A“不安全”的概率就記為P(D)。為了簡化計，此處只考慮0<P(D)<1的情況，因為，如果P(D)=0，那么這個“不安全事件”D就幾乎不會發生，故可以忽略，因為無論是否對造成事件D的環境進行改進，都不影響系統A的安全性；如果P(D)=1，那么，D就是“不安全”的確定原因（沒有隨機性），這時只需要針對事件D單獨進行加固（比如，采用現在所有可能的已知安全技術手段。實際上，當前全球安全界都已經擅長于這種“頭痛醫頭，足痛醫足”的方法），就可以提升系統A的安全性了。
從理論上看，給定系統A之后，如果A是有限系統，那么，總可以通過各種手段，發現或測試出當前的全部有限個“不安全事件”，比如，D1、D2、…、Dn。下面，在不引起混淆的情況下，用Di同時表示“不安全事件”和造成該事件Di的原因。于是，系統A的“不安全”概率就等于P(D1∪D2∪…∪Dn)，或者說，系統A的“安全”概率等于1-P(D1∪D2∪…∪Dn)。
換句話說，本來無處下手的“安全”研究，就轉化為了下面的數學問題：
“安全”數學問題：在概率0<P(D1∪D2∪…∪Dn)<1的情況下，使該概率P(D1∪D2∪…∪Dn)最小化的問題，或者使1-P(D1∪D2∪…∪Dn)最大化的問題。
設D和B是系統A的兩個“不安全事件”，那么，(D∪B)也是一個“不安全事件”，但是，（D∩B）或者（D\\B）等就不一定再是“不安全事件”了。若事件D是B的真子集，并且D的發生會促使B也發生（即，條件概率P(B|D)>P(B)），則稱事件D是事件B的“子事件”。
在時間正序流動的條件下，設系統A的過去全部“不安全事件”集合為D，若當前又發現一個新的“不安全事件”B，那么，系統A的當前“不安全”概率=P(D∪B)≥P(D)=系統A的過去“不安全”概率。于是:
“不安全性”遵從熱力學第二定律：系統A的“不安全”概率將越來越大，而不會越來越小（除非有外力，比如采取了相應的安全加固措施等）；或者說“安全”與“信息”一樣都是負熵。
由熱力學第二定律可知，熱量可以自發地從高溫物體傳遞到低溫物體，但不可能自發地從低溫物體傳遞到高溫物體；熱量將最終穩定在溫度一致的狀態。那么，有限系統A的“不安全”狀態將最終穩定在什么地方呢？
下面就來回答這個問題。
設Z是一個“不安全事件”，如果存在另外兩個“不安全事件”X和Y（它們都是Z的真子集），同時滿足如下兩個條件：（1）X∩Y=；(2）Z=X∪Y。那么，就說“不安全事件”Z是可分解的。此時X和Y都是Z的子事件。如果某個“不安全事件”是不可分解的（即它的所有真子集都不再是“不安全事件”了），那么，就稱該事件為“不安全的素事件”。
定理1（“不安全事件”分解定理）：對任意給定的“不安全事件”D，都可以判斷出D是否是可分解的，并且，如果D是可分解的，那么，也可以找到它的某種分解。
證明：由于有限系統A的全部“不安全事件”只有有限個D1、D2、…、Dn，所以，至少可以通過窮舉法，對每個Di(i=1,2,…,n)測試D\\Di，判斷其是否也是“不安全事件”。如果至少能夠找到某個這樣的i，則D就是可分解的，而且，Di與（D\\Di）就是它的一個分解；否則，D就是不可分解的“不安全素事件”，這是因為“D1、D2、…、Dn”是全部“不安全事件”。證畢。
定理2（“不安全事件”素分解定理）：若反復使用上述的“不安全事件”分解定理來處理“不安全事件”（D1∪D2∪…∪Dn）及其被分解后的“不安全子事件”，那么，就可以最終得到分解：D1∪D2∪…∪Dn=B1∪B2∪…∪Bm，這里對任意的i和j（i，j=1，2，…，m）都有Bi是“不安全素事件”,并且Bi∩Bj=。
證明：若D=D1∪D2∪…∪Dn，已經是不可分解的了，那么，m=1，并且D1∪D2∪…∪Dn=B1;若D是可以分解的，并且X是D分解后的一個“不安全子事件”。如果X已經不可分解了，那么，可以取B1=X；如果X還可以再分解，那么，再對X的某個“不安全子事件”進行分解。如此反復，直到最終找到一個不能再被分解的“不安全子事件”，將該事件記為B1。
仿照上面分解D的過程來分解D\\B1，便可以找出不能再被分解的“不安全子事件”B2。
再根據D\（B1∪B2）的分解，便可得到B3。
最終，當這個分解過程結束后，全部的Bi就已經構造出來了。證畢。
于是，根據“不安全事件”素分解定理，便有Bi∩Bj=，并且：
P(D1∪D2∪…∪Dn)=P(B1∪B2∪…∪Bm)=P(B1)+P(B2)+…+P(Bm)
換句話說，可以將引發有限系統A的“不安全事件”D1、D2、…、Dn分解為另一批彼此互不相容的“不安全素事件”B1、B2、…、Bm，并且，還將有限系統A的不安全概率轉化為P(B1)+P(B2)+…+P(Bm)。所以，有限系統A的“不安全”概率P(D1∪D2∪…∪Dn)的最小化問題也就轉化成了每個彼此互不相容的“不安全素事件”的概率P(Bi)(i=1,2,…,m)的最小化問題。進而得到如下結論：
定理3（分而治之定理）：任何有限系統A的“不安全事件”集合，都可以分解成若干個彼此互不相容的“不安全素事件”：B1、B2、…、Bm，使得只需要對每個Bi(i=1,2,…,m)進行獨立加固，即減小事件Bi發生的概率P(Bi)，即可以整體上提高系統A的安全強度，或者說整體上減少系統A的“不安全”概率。
該分而治之定理回答了前面的“熱平衡”問題，即：有限系統A的“不安全”狀態，將最終穩定成一些彼此互不相容的“不安全素事件”之并。該定理對全球網絡空間安全界的啟發意義在于：過去那種“頭痛醫頭，足痛醫足”的做法雖然值得改進，但也不能盲目地“頭痛醫足”或“足痛醫頭”，而是應該科學地將所有安全威脅因素，分解成互不相容的一些“專科”（B1、B2、…、Bm），然后，再開設若干“專科醫院”來集中精力“醫治”相應的病癥（即，減小P(Bi)）。
專科醫院也是分門診部的，同樣，針對上述的每個“不安全素事件”Bi也可以再進一步地進行分解，并最終得到系統A的完整“經絡圖”，于是，便找到了某些“頭痛醫足”的依據，甚至給出“頭痛醫足”的辦法。
2系統“經絡圖”的邏輯分解
設X是B的一個真子集，并且，若事件X發生，就會促使B也發生（即，P(B|X)-P(B)>0），那么，就稱X為B的一個誘因。
針對任何具體給定的有限系統A，因為B是有限集，所以，從理論上看，總可以通過各種手段發現或測試出當前B的全部有限個誘因，比如，X1、X2、…、Xn，即，B=X1∪X2∪…∪Xn。
設X和Y是B的兩個誘因，而且還同時滿足：（1）X∩Y=；（2）B=X∪Y。那么，即認為B是可分解的，并且X∪Y就是它的一種分解。如果某個B是不可分解的（即它的所有真子集都不再是其誘因了，或者說對B的所有真子集Z，都有條件概率P(B|Z)=P(B)），那么，就稱該事件為“素事件”。
若Y、Y1、Y2都是B的誘因有：并且有：（1）Y1∩Y2=；(2）Y=Y1∪Y2。那么，即認為B的誘因Y是可分解的，并且Y1∪Y2就是它的一種分解。如果誘因Y是不可分解的（即，它的所有真子集都不再是B的誘因了），那么，就稱該誘因Y為“B的素誘因”。如果誘因Y的所有子集Z，都不再是Y自己的誘因了，那么，就稱Y為“元誘因”，或形象地稱為“穴位”。
定理4（事件分解定理）：對任意給定的事件B，都可以判斷出B是否可分解，并且，如果B是可分解的，那么，也可以找到它的某種分解。
證明：由于系統B的全部誘因只有有限個X1、X2、…、Xn，所以，至少可以通過窮舉法，對每個Xi(i=1,2,…,n)測試B\\Xi，判斷其是否也是B的一個誘因。如果至少能夠找到某個這樣的i，那么，B就是可分解的，而且，Xi與（B\\Xi）就是它的一個分解；如果這樣的i不存在，那么，B就是不可分解的，這是因為“X1、X2、…、Xn”是B的全部誘因。證畢。
定理5（事件素分解定理）：若反復使用上述的“事件分解定理”來處理事件B，那么，就可以最終得到分解：B=Y1∪Y2∪…∪Ym，這里對任意的i和j（i，j=1，2，…，m）都有Yi∩Yj=，并且每個Yi都是B的素誘因。
證明：若B已經是不可分解的了，那么，m=1，并且，B=Y1。
若B是可以分解的，并且Y是B分解后的一個誘因。如果Y已經是B的素誘因了，那么，可以取Y1=Y；如果Y還可以再分解，那么，再對Y的某個誘因進行分解。如此反復，直到最終找到一個不能再被分解的素誘因，將它記為Y1。
仿照上面分解B的過程來分解B\\Y1，便可以找出B的不能再被分解的素誘因Y2。
再根據B\（Y1∪Y2）的分解，便可得到Y3。
最終，當這個分解過程結束后，全部的Yi就已經構造出來了。證畢。
有了上面各定理的準備后，現在就可以給出如下有限系統A的經絡圖算法步驟：
第0步：針對系統A的“不安全事件”D。
第1步：利用定理2，將D分解成一些互不相容的“不安全素事件”B1∪B2∪…∪Bm，這里對任意的i和j（i，j=1，2，…，m）都有Bi是“不安全素事件”并且Bi∩Bj=（為清晰計，在繪制經絡圖時，可以從左至右，按照P(Bi)的遞減順序排列）。
第2.i步（i=1，2，…，m）：利用定理5，把第1步中所得到的Bi分解成若干“Bi的素誘因”（為清晰計，在繪制經絡圖時，可以從左至右，對Bi的素誘因，按照其發生概率大小值的遞減順序排列），為避免混淆，將所有第2步獲得的素誘因，稱為“第2步素誘因”。這些素誘因中，有些可能已經是“元誘因”（穴位）了。
第3.i步（i=1，2，…）：針對第2步所獲得的每個不是“元誘因”（穴位）的素誘因，利用定理5，將其進行分解，由此得到的素誘因稱為“第3步素誘因”（這些誘因的從左到右的排列順序與前幾步相似）。這些素誘因中，有些可能已經是“元誘因”（穴位）了。
……
第k.i步（i=1，2，…）：針對第k-1步所獲得的每個不是“元誘因”（穴位）的素誘因，利用定理5，將其進行分解，由此得到的素誘因稱為“第k步素誘因”（這些誘因的從左到右的排列順序也與前幾步相似）。這些素誘因中，有些可能已經是“元誘因”（穴位）了。
……
由于上面各步驟的每次分解，都是針對真子集所進行的，所以，這種分解的步驟不會無窮進行下去，即，一定存在某個正整數，比如N，使得：
第N.i步（i=1，2，…）：針對第N-1步所獲得的每個不是“元誘因”的素誘因，利用定理5將其進行分解，由此得到的素誘因全部都已經是“元誘因”（穴位）了（每一個素誘因下面的元誘因排列順序，也是采用概率從大到小進行）。
將上面的分解步驟結果用圖形表述出來，便得到了有限系統A的安全事件“經絡圖”（由于它的外形很像一棵倒立的樹，所以，也稱為“經絡樹”），如圖1。
根據經絡樹的繪制過程，可以得到：
（1）如果系統A不安全了，那么，至少有某個“不安全素事件”（甚至可能是“元誘因”（穴位））發生了（見經絡樹的第二層）；
（2）如果某個“不安全素事件”發生了，那么，該事件的至少某個“素誘因”（甚至可能是“元誘因”（穴位））就發生了（見經絡樹的第三層）；
……
（K）如果某個“第k-1步素誘因”發生了，那么，它的至少某個“第k步素誘因”（甚至可能是“元誘因”（穴位））就發生了（見經絡樹的第k+1層）；
現在就清楚該如何“頭痛醫足”了：實際上，只要系統A“病”了，那么，就一定能夠從系統A的完整經絡圖中，找出某個“生病的子經絡圖”M，使得：（1）M的每層“素誘因”或“元誘因”（穴位）都是“病”的；（2）除了M之外，系統A的經絡圖的其他部分都沒病。于是，為了治好該“病”，只需要將M中的所有“元誘因”（穴位）的“病”治好（說明：這里某個第k步誘因病了，意指它的至少一個“第k+1步誘因”發生了。而如果某個第k步誘因的全部第k+1步誘因都沒有發生，那么，這個第k步誘因就沒病！可見，除了“元誘因”（穴位）之外，M中的其他非元誘因是可以自愈的！）。
更具體地說，“頭痛醫足”的過程是：首先將最底層，比如第N層的“元誘因”（穴位）治好，于是，第N-1層的“素誘因”就自愈了；然后，再扎針灸治好第N-1層的“元誘因”（穴位），于是，第N-2層的“素誘因”就自愈了；然后，再扎針灸治好第N-3層的“元誘因”（穴位），……，如此繼續，最終到達頂層。
“經絡圖”的用途顯然不僅僅是用來“頭痛醫足”，它還有許多其他重要應用，比如：
（1）只要守住所有相關的“元誘因”（穴位），那么，系統A就安然無恙；
（2）同理，只要將所有炮火瞄準相關“元誘因”（穴位），那么，就能夠穩準狠地打擊對手；
（3）除了元誘因（穴位）之外，經絡圖中平均概率值大的“經絡”是更脆弱的經絡（即，安全“木桶原理”中的短板），也是在系統安全保障中需要重點保護的部分；同時，也是攻擊過程中重點打擊的部分；
（4）平時注意繪制和補充經絡圖，關鍵時刻就可以派上用場了！
3結束語
仙農在研究信息論時，雖然發現了信道容量的上限值，但是非常遺憾，他沒能給出如何才能達到該上限值，從而，致使全世界通信界的科學家們在過去60余年來，使出渾身解數設計各種編碼方法，來努力逼近仙農界，至今沒有成功。
與此相似，本文雖然證明了有限系統的“安全經絡圖”是存在的，但是，并未給出如何針對具體的系統，來繪制其安全經絡圖，估計未來的學者們不得不花費巨大的精力，針對具體系統來繪制具體的經絡圖。
必須指出，繪制經絡圖絕非易事。為了繪制人體經絡圖，中醫界的祖先們奮斗了數千年！因此，絕無可能在短期內就繪制出“網絡空間安全經絡圖”，雖然這個圖肯定存在。
下面結合網絡空間安全給出幾點注記：（1）漏洞庫中的每個漏洞，算是“元誘因”（穴位），堵住相關漏洞就是對相關“元誘因”（穴位）的加固；（2）口令算是一種“元誘因”（穴位），如果今后能夠完全消除口令，代之以綜合的個體生理特征，那么，這個“元誘因”（穴位）就會被充分加固；（3）刪貼等“信息封堵”手段，雖然可以加固某個“素誘因”，但是，絕非加固“元誘因”（穴位），所以，難免會吃力不討好；（4）“被穿透”和“被封堵”顯然是互不相容的安全事件，而“被竊密”和“口令暴露”卻是彼此相容的不安全事件；（5）歡迎所有學者，繼續對“網絡空間安全經絡圖”和其他系統的經絡圖進行更深入的研究。