0 引言

    SFM(Sinusoidal Frequency Modulation)信號是一種典型的非平穩信號，具有頻率時變、低截獲概率等性質，在雷達、聲納、生物醫學及地震信號處理等領域得到廣泛應用^[1]。傳統的傅里葉變換是信號分析與處理的重要技術手段，但不能反映非平穩信號頻率的時變本質，而時頻分析^[2-3]注重信號時變譜特征，描述信號隨時間和頻率的能量分布。因此，研究SFM信號的時頻分析方法具有重要的意義。

    近年來，時頻分析方法在非平穩信號處理領域中引起廣泛關注和研究，主要應用于雷達目標探測、語音信號和圖像處理、生物信號診斷等領域。Wigner-Ville分布(WVD)是分析非平穩時變信號的重要工具之一，是一種基本Cohen類雙線性時頻分布，具有很好的時頻聚集性^[4]，但對于非線性調頻信號會產生交叉項干擾。偽Wigner-Ville分布(PWVD)能夠抑制交叉項干擾，但降低了時頻分辨率，且改變了邊緣性質^[5]。1993年，MALLAT和ZHANG^[6]首次提出在過完備字典中對信號進行稀疏分解的思想，并引入了匹配追蹤(Matching Pursuit，MP)算法。目前，稀疏分解被廣泛應用到信號處理的許多方面，如編碼、去噪、微弱信號提取等，但在時頻分析中的研究甚少。文獻[7]利用Gabor原子對語音信號進行分解，很好地利用了Gabor原子來表示信號的內在結構；文獻[8]將MP分解方法應用在雷達目標識別中，該方法雖然提高了原子的搜索效率，但本質上沒有降低信號分解的計算復雜度，難以實現信號實時處理。

    為解決SFM信號WVD存在的時頻交叉項干擾問題，本文提出一種基于稀疏分解的時頻分析方法。該方法首先在Gabor原子字典中對信號進行MP分解，然后將分解得到的Gabor原子通過Wigner-Ville變換疊加得到信號WVD。仿真結果表明，本文方法能提高對信號分解的計算效率，不僅能抑制交叉項干擾，還能保持高時頻分辨率，是一種有效的時頻分析方法。

1 SFM信號模型及時頻特性分析

1.1 SFM信號模型

    SFM信號的頻率特性曲線是關于時間的正弦函數，其數學模型為：

式中，A為SFM信號的幅度，f_c為載頻，f_m為調制頻率，m_f為調制指數。由于瞬時頻率是瞬時相位關于時間的導數，則：

1.2 時頻特性分析

    信號s(t)的Wigner-Ville變換定義為：

    由式(4)可知，當信號相位關于時間的二階以上導數為零時，如線性調頻信號WVD不含交叉項，表現出最佳時頻聚集性；當信號相位關于時間的二階以上導數不為零時，由于其高次項的作用，信號WVD會產生自身交叉項。為了解決SFM信號的交叉干擾問題，本文將利用Gabor原子的時頻特性，聯合稀疏分解和WVD的方法對SFM信號進行分析。

2 基于稀疏分解的時頻分析方法

2.1 Gabor原子字典的構建及離散化

    Gabor原子的數學表示式為：

    對于由Gabor原子所構成的字典，首先將g_γ作歸一化處理，即||g_γ||=1，然后根據Mallat索引算法對信號的時頻參數進行離散化。

    由圖1可知，隨著j的遞增位移參數的掃描間隔不斷變得稀疏，而頻率參數的掃描間隔不斷變得密集。在迭代過程中，先根據j值確定時頻參數的取值范圍和步距，再依次掃描時頻參數來選取最相關的原子參數。

2.2 聯合MP分解和WVD的時頻分析

    假設D為N維Hilbert空間H中的Gabor原子字典，g_γ為由參數組γ定義的Gabor原子。考察逼近任意信號f，信號長度為N，則信號可被分解為：

其中α為優化因子，0<α≤1。為了尋找與分解的殘余最為匹配的原子，取α=1。

    當殘余能量低于一定閾值或者滿足一定的迭代次數時，該迭代過程結束。由式(7)可得，用少量Gabor原子即可表示信號的主要成分，即：

式(10)和M<<N集中體現信號稀疏表示的思想，它代表信號稀疏分解的結果。

    對每次迭代過程中分解得到的Gabor原子進行Wigner-Ville變換，由式(12)得到信號WVD：

3 利用改進遺傳算法尋找最佳匹配原子

    基于MP的稀疏分解算法存在的關鍵問題是計算量大。本文采用分層思想對傳統遺傳算法(GA)尋找最佳匹配原子進行改進。利用過完備原子庫“波形相同”的等價關系[9]，對字典D按式(13)進行劃分：

    將定義一個原子的參數組作為待尋優參數，殘余與最佳匹配原子內積的絕對值作為適應度函數。當每個子庫運行到一定代數時，將N個子庫結果和平均適應度分別記錄到數組R[i，j](i=1，…，N；j=1，…，n)和A[i]中，進行選擇、交叉和變異操作，淘汰適應度值低的原子，然后更新R[i，j]和A[i]，并開始新的分解迭代過程。利用改進遺傳算法尋找最佳匹配原子如圖2所示。

4 仿真及性能分析

    仿真實驗中，采用SFM信號，信號長度為N=140，s(t)=exp[j0.5πt+j20sin(0.02πt)]。為便于信號分析和處理，對采樣頻率進行歸一化處理。由文獻[7]可知，當信號長度為140時，字典中含有59 129個Gabor原子，滿足原子字典的過完備性。

    圖3、圖4分別為SFM信號的WVD和PWVD。由圖可知，SFM信號WVD存在嚴重的交叉項，與理論分析相符；其PWVD雖抑制了交叉項，具有較好的聚集性，但降低了時頻分辨率，改變了邊緣性質。

4.1 實驗一：正弦調頻信號的稀疏分解

    對SFM信號在Gabor原子字典中做稀疏分解，迭代次數為200。圖5表示Gabor原子示意圖，Gabor原子的能量較為集中，這種集中的特性是由信號時頻參數構成的Gabor原子是一個高斯窗函數，具有代表性。

    圖6和圖7分別表示SFM信號在200次迭代過程中分解系數的變化及逼近誤差。隨著迭代次數的增加，分解系數幅值不斷減小，表明在分解的過程中殘余能量越來越小（經過200次分解后逼近誤差值小于0.05），重構信號越來越逼近原SFM信號。

4.2 實驗二：時頻特性分析

    通過改變迭代次數來比較由不同原子數構建信號的WVD。圖8、圖9分別表示為由30、50個Gabor原子構建信號的WVD，顏色表示信號能量分布。由圖可知，Gabor原子在時頻圖上表現為時頻塊，具有最佳的時頻聚集性，信號WVD是由一系列Gabor原子組合得到。仿真結果表明，本文方法有效抑制了SFM信號WVD的交叉項干擾，并保持高的時頻分辨率。

    經過多組測試，不同Gabor原子數構建信號WVD的效果不同，說明信號的稀疏表示存在多種形式；同時在本文給出的參數條件下，采用35個Gabor原子構成信號的WVD效果最好。

4.3 實驗三：稀疏分解性能分析

    設種群進化代數為35，染色體個數為21。從算法復雜度角度來看，稀疏分解計算復雜度取決于殘余與最佳匹配原子的內積運算量。假設基于MP分解計算速度為1，3種不同分解方法的相對計算速度及均方根誤差比較如表1所示，以重構信號與原信號之間的均方根誤差(RMSE)作為衡量重構信號質量的標準。

    由表1可知，3種方法得到的RMSE均小于-19 dB，說明35個Gabor原子可很好地重構原信號相對基于MP分解和GA的MP分解方法而言，本文方法在保證重構信號質量的情況下，提高了稀疏分解的計算效率。

5 結束語

    從稀疏分解的角度出發，本文提出一種聯合稀疏分解和Wigner-Ville分布的時頻分析方法。在傳統時頻分析方法的基礎上，本文利用Gabor原子的時頻特性，將信號WVD用一系列最佳匹配Gabor原子的WVD疊加得到。相對于信號的時頻分布，稀疏分解得到的是與信號最為匹配原子的參數信息，靈活地選取Gabor原子，可以更為稀疏地表示信號，有效地揭示了非平穩信號的時頻結構，其不但是稀疏的，而且可以方便應用于進一步的信息處理。

參考文獻

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