快速傅里葉變換(FFT)在雷達、通信和電子對抗等領(lǐng)域有廣泛應用。近年來現(xiàn)場可編程門陣列(FPGA)的飛速發(fā)展，與DSP技術(shù)相比，由于其并行信號處 理結(jié)構(gòu)，使得FPGA能夠很好地適用于高速信號處理系統(tǒng)。由于Altera等公司研制的FFT IP核，價錢昂貴，不適合大規(guī)模應用，在特定領(lǐng)域中，設(shè)計適合于自己領(lǐng)域需要的FFT處理器是較為實際的選擇。
本文設(shè)計的FFT處理器，基于FPGA技術(shù)，由于采用移位寄存器流水線結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)了兩路數(shù)據(jù)的同時輸入，相比傳統(tǒng)的級聯(lián)結(jié)構(gòu)，提高了蝶形運算單元的運算效 率，減小了輸出延時，降低了芯片資源的使用。在OFDM系統(tǒng)的實際應用中，因它可以采用快速傅里葉變換，能方便快捷地實現(xiàn)調(diào)制和解調(diào)，故結(jié)合MIMO技 術(shù)，設(shè)計的FFT處理器結(jié)構(gòu)，可以很好地應用于2根天線的MIMO-OFDM系統(tǒng)中。
1 FFT處理的應用及DIF FFT算法原理
圖1給出一個2根天線MIMO-OFDM系統(tǒng)中FFT的使用。快速傅里葉變換算法基本上分為兩大類：時域抽取(DIT)和頻域抽取(DIF)，這里設(shè)計的FFT處理器采用基-2 DIF算法。
對于N點序列x(N)，其傅里葉變換
將x(n)分成上、下兩部分，得：
這樣將兩個N點的DFT分成兩個N／2點的DFT，分的方法是將x(k)按序號k的奇、偶分開。通過這種方式繼續(xù)分下去，直到得到兩點的DFT。采用DIF方法設(shè)計的FFT，其輸入是正序，輸出是按照奇偶分開的倒序。
2 移位寄存器流水線結(jié)構(gòu)的FFT
在傳統(tǒng)流水線結(jié)構(gòu)的FFT中，需要將全部數(shù)據(jù)輸入寄存器后，可開始蝶形運算。在基-2 DIF算法中可以發(fā)現(xiàn)，當前N／2個數(shù)據(jù)進入寄存器后，運算便可以開始，此后進入的第N／2+1個數(shù)據(jù)與寄存器第一個數(shù)據(jù)進行蝶形運算，以此類推。
由于采用頻域抽取法，不需要對輸入的數(shù)據(jù)進行倒序處理，簡化了地址控制，這樣，可以采用移位寄存器的方式，依次將前N／2個數(shù)據(jù)移入移位寄存器，在 N／2+l時刻，第一個數(shù)據(jù)移出移位寄存器，參與運算。相對于傳統(tǒng)的RAM讀寫方式，采用移位寄存器存儲結(jié)構(gòu)綜合后的最大工作頻率為500 MHz，遠大于RAM方式的166 MHz。
當移位寄存器相繼有數(shù)據(jù)移出時，在移位寄存器中會出現(xiàn)空白位。此時，引入第二路數(shù)據(jù)，在第一路數(shù)據(jù)依次移出進行蝶算時，第二路數(shù)據(jù)依次補充到移位寄存器的 空白位中，為運算做準備。通過這樣一種類似“乒乓操作”的結(jié)構(gòu)，可以使蝶形運算模塊中的數(shù)據(jù)不間斷地輸入，運算效率達到100％。不同于傳統(tǒng)的“乒乓操 作”結(jié)構(gòu)，由于使用移位寄存器，不需要兩塊RAM，可以省掉一半的寄存器。圖2為256點FFT處理器的第一級結(jié)構(gòu)。
基于上述基本原理，將這種移位寄存器結(jié)構(gòu)擴展到整個FFT系統(tǒng)的各級，可以發(fā)現(xiàn)各級使用的移位寄存器數(shù)量是遞減的。現(xiàn)使用一個8點結(jié)構(gòu)來進行說明。
如圖3所示，數(shù)據(jù)由輸入l和輸入2進入第一級。通過開關(guān)進行選通控制。由于是N=8的運算，所以各級分別加入4級、2級和1級的移位寄存器。
分兩路來說明運算過程：
將K1打到位置①，第一路數(shù)據(jù)進入移位寄存器，待第一路的前4個數(shù)據(jù)存入4級移位寄存器后，第一路進入的第5個數(shù)據(jù)與移位寄存器移出的第1個數(shù)據(jù)進行蝶形運算。
由于輸出結(jié)果有上下兩路，第二級是一個四點的DFT，所以對于上路的輸出結(jié)果x0(0)+x0(4)類似于第一級，直接存入下一級寄存器，為四點運算做準備，下路的輸出，
先存入本級2級移位寄存器中，等到上路的四點運算開始，第二級的移位寄存器有空白位時，移入第二級，為下路的四點運算做準備。所以第一級蝶形運算上路輸出前N／4=2個進入下一級寄存器，下路輸出的數(shù)據(jù)依次存入本級移位寄存器中。
當?shù)谝患壍妮敵銮癗／4=2個數(shù)據(jù)x0(0)+x0(4)和x0(1)+x0(5)存入第二級移位寄存器時，運算便可以開始，這時開關(guān)K2打到位置②，此 時第一級上路輸出的數(shù)據(jù)x0(2)+x0(6)，即第一級上路輸出的第三個數(shù)據(jù)與第二級移位寄存器移出的第一個數(shù)據(jù)，即x0(O)+x0(4)進行蝶形運 算，輸出的第四個數(shù)據(jù)x0(3)+x0(7)與x0(1)+x0(5)進行蝶算。在這個運算過程中，第一級的2級移位寄存器移出數(shù)據(jù)依次移位存入到第二級 的移位寄存器產(chǎn)生的空白位中。
兩個時鐘后，第一級上路輸出的四個數(shù)據(jù)完成了蝶形運算，K2打到位置①，在接下來的兩個時鐘里，第一級中2級移位寄存器的輸出依次與此時第二級中2級移位寄存器的輸出數(shù)據(jù)進行蝶形運算，即與
，
與
完成第一級下路輸出的四個數(shù)據(jù)的蝶形運算。
此時，第一路在第一級運算后的輸出數(shù)據(jù)，在第二級完成了全部的蝶形運算。第二級的輸出結(jié)果同第一級一樣，蝶形運算的上路輸出前N／8=1個進入下一級寄存器，后一個數(shù)據(jù)直接進入后一級進行碟算，下路輸出的數(shù)據(jù)存入本級移位寄存器中。
第三級的運算與第二級和第一級類似，即移入1級寄存器的數(shù)據(jù)與其后一個數(shù)據(jù)進行碟算，同時使前一級寄存器的輸出數(shù)據(jù)進入后一級寄存器的空白位中，然后開關(guān)打到位置②，對下路輸出數(shù)據(jù)進行碟算。
對于第二路數(shù)據(jù)，通過開關(guān)控制，在第二級中，待第一路第一級下路輸出數(shù)據(jù)進行蝶形運算時，移入寄存器的空白位，為運算做準備，由于前級運算周期是后級運周 期的兩倍，對于第二級碟算模塊而言，數(shù)據(jù)仍然是不間斷輸入的。通過這樣兩路數(shù)據(jù)的交替運算和存儲，實現(xiàn)“乒乓操作”，從而提高了蝶形運算模塊的運算效率。 圖4是256點FFT的具體運算輸入和輸出時序圖。對于只有一路數(shù)據(jù)的應用場合，可以在前級加入，門控開關(guān)和數(shù)據(jù)緩沖寄存器分成兩路數(shù)據(jù)，實現(xiàn)一路數(shù)據(jù)的 不間斷讀入。
由于采用移位寄存器結(jié)梅，各級寄存器使用的數(shù)量都是固定的，即為N／2+N／4。其中，N為該級DFT運算的點數(shù)，各級使用的移位寄存器深度逐級遞減，從而大大降低了寄存器的使用數(shù)量。
此外，由于各級結(jié)構(gòu)固定，所以大點數(shù)FFT只是小點數(shù)FFT基礎(chǔ)上級數(shù)的增加，而且由于移位寄存器的輸出相對于RAM而言不需要復雜的地址控制，所以這種 結(jié)構(gòu)的FFT處理器具有非常好的可擴展性。比如需要實現(xiàn)512點的FFT，只需要在256點的基礎(chǔ)上增加一級即可。
3 具體模塊的設(shè)計
3．1 控制與地址產(chǎn)生模塊
由于兩路數(shù)據(jù)同時輸入，為了防止發(fā)生兩路數(shù)據(jù)間的串擾，對數(shù)據(jù)的控制顯得極其關(guān)鍵。從上面的算法結(jié)構(gòu)分析中知道，由于后級的DFT運算點數(shù)是前一級的一 半，所以后一級的開關(guān)轉(zhuǎn)換周期也是前一級的一半，基于這種關(guān)系，可以使用一個8位計數(shù)器的每一位狀態(tài)來對各級開關(guān)進行控制。最高位控制第一級，同時由于上 一級數(shù)據(jù)進入下一級需要一個時鐘，所以下一級的開關(guān)轉(zhuǎn)換時刻要比上一級延遲一個時鐘周期。
對于移位寄存器，在實現(xiàn)時，各級的前級移位寄存器深度為N／2-1，從本質(zhì)而言，是使運算開始的時鐘上升沿到來時，數(shù)據(jù)已經(jīng)出現(xiàn)在碟算模塊輸入線上，而不 需要下一個時鐘的驅(qū)動來移出寄存器，比如第二級移位寄存器的級數(shù)為63。這樣，運算周期正好是2的倍數(shù)，從而方便使用計數(shù)器的各位直接對開關(guān)進行控制。
同時，計數(shù)器還可以用來產(chǎn)生所需旋轉(zhuǎn)因子的RAM地址。根據(jù)各級蝶形運算所需旋轉(zhuǎn)因子的規(guī)律，可以利用計數(shù)器的高位補零來產(chǎn)生查找表的地址。比如，對于第一級，因為需要在最低位第一次出現(xiàn)1時提供
，第二次出現(xiàn)1時提供
，…，以此類推，周期為128，所以可以使用計數(shù)器的低七位作為地址。對于第二級，由于所需要的地址為偶數(shù)，可以由計數(shù)器的[6：1]和最低位置O產(chǎn)生。表l為8點時使用三位計數(shù)器輸出旋轉(zhuǎn)因子的地址情況。
控制和地址產(chǎn)生模塊的仿真結(jié)果如圖5所示，其中sel代表開關(guān)控制，addr代表產(chǎn)生的地址。
3．2 蝶形運算模塊
蝶算模塊由一個復數(shù)加法器，一個復數(shù)減法器和一個旋轉(zhuǎn)因子的復數(shù)乘法器構(gòu)成，如圖6所示。
旋轉(zhuǎn)因子乘法器通常由4次實數(shù)乘法和2次加／減法運算實現(xiàn)，但因為cos和sin的值可以預先存儲，通過下面的算法可以簡化復數(shù)乘法器：
（1）存儲如下三個系數(shù)：C，C+S，C-S
（2）計算：E=X-Y和Z=C*E=C*（X-Y）
（3）用R=（C-S）*Y+Z，I=（C+S）*X-Z，
得到需要的結(jié)果。
這種算法使用了3次乘法，1次加法和2次減法，但是需要使用存儲3個表的ROM資源。
設(shè)計中數(shù)據(jù)的輸入為16位復數(shù)，所以將旋轉(zhuǎn)因子cos(2kπ／N)，sin(2kπ／N)量化成帶符號數(shù)的16位二進制數(shù)后，存儲到ROM中，由于值域不同，需要注意C+S和C-S的表要比C表多1位精度。
運算后的結(jié)果需要除以量化時乘以的倍數(shù)16b011111llllllllll。具體實現(xiàn)時由于除法運算在FPGA器件需要消耗較多的資源，設(shè)計中采用二 進制數(shù)移位的方法來實現(xiàn)除法運算。為了防止數(shù)據(jù)溢出，設(shè)計對輸出結(jié)果除以2。圖7為蝶形運算模塊的RTL級結(jié)構(gòu)圖。
3．3 倒序輸出模塊
由頻域抽取的基-2算法可知，運算結(jié)果需要倒序輸出。可以先將結(jié)果存儲到RAM中，然后使用O～255的二進制數(shù)倒序產(chǎn)生RAM讀取地址，依次將結(jié)果讀出，其中實現(xiàn)一個8位二進制數(shù)倒序的算法如下：
(1)將8位數(shù)字的相鄰兩位交換位置；
(2)將相鄰的兩位看作1組，相鄰兩組交換位置；
(3)將相鄰的4位看作1組，相鄰兩組交換位置。
經(jīng)過這樣的交換位置后，輸出即為原來8位二進制數(shù)的倒序。
舉例對于8位二進制數(shù)10110110來說，第一次交換位置的結(jié)果是01111001，第二次交換位置的結(jié)果是11010110，最后交換位置的結(jié)果是01101101。可見正好是原來數(shù)字的倒序。
另外，由于設(shè)計的是兩路數(shù)據(jù)同時寫入，一路數(shù)據(jù)讀出，所以讀取的頻率是寫入頻率的2倍，使用PLL實現(xiàn)原始時鐘的二倍頻，用來讀取RAM。倒序模塊仿真結(jié)果如圖8所示。
最終生成的FFT處理器模塊圖如圖9所示。
4 仿真結(jié)果
各級間數(shù)據(jù)時序情況如圖10所示，設(shè)計的FFT處理器仿真結(jié)果如圖1l所示。采用一路階梯遞增信號和另一路：XXXX信號進行仿真，通過與Matlab計 算結(jié)果進行對比，結(jié)果基本一致，可以滿足系統(tǒng)要求。系統(tǒng)總的延時由延時最大的第一級決定，為第一級運算的延時加上倒序輸出的延時，總共是 (256+128)×clk，相對于一般流水線結(jié)構(gòu)(256×讀入周期+7×128×蝶算周期+128×讀入周期)，系統(tǒng)延時大為減少。
通過仿真可知，系統(tǒng)最大頻率由蝶形運算模塊的最大工作頻率決定。使用QuartusⅡ軟件時序仿真后，得到處理器的工作頻率為72 MHz。
5 結(jié)語
通過采用移位寄存器流水線結(jié)構(gòu)，可以有效地提高FFT處理器中蝶形運算單元的效率，減少寄存器的使用數(shù)量，并且簡化了地址控制，提高處理器的工作頻率，具 有良好的可擴展性，同時可以實現(xiàn)兩路數(shù)據(jù)的同時輸入，從而增大了一倍的數(shù)據(jù)吞吐量。對于工作頻率要求較高，數(shù)據(jù)吞吐量較大，尤其對于需要兩路數(shù)據(jù)輸入的場 合，比如兩天線的MIMO-OFDM系統(tǒng)，具有很大的實用價值。