摘??要: 橢圓曲線公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" 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title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制" title="公鑰密碼體制">公鑰密碼體制的相關概念及算法。根據數字圖像數據的特性,提出了二維偏移表的方法來實現明文轉化為橢圓曲線上的點的映射,用小的模數值p實現了該公鑰體制下的圖像加密。

　　關鍵詞: 橢圓曲線? 橢圓曲線公鑰密碼體制? 偏移表

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　　隨著互聯網的迅猛發展,越來越多的信息可以通過網絡傳播,由此對信息的安全性要求越來越高。信息安全,就是確保信息在傳播及存儲當中不被未授權者理解其真實內容。

　　相對于其他數據而言,數字圖像數據所蘊涵的信息要豐富得多,因此數字圖像數據的信息安全性也格外受到重視。數字圖像加密也稱數字圖像置亂。由于數字圖像在計算機中往往是用數據矩陣來表示的,所以對普通數據的加密技術基本上都可以用于數字圖像的置亂。但數字圖像數據又有其特殊性,它包括象素的空間位置信息及顏色分量(或灰度值)信息,并且顏色分量值(或灰度值)有一定的取值范圍。特別地,數字圖像蘊涵的數據量龐大,因此在設計數字圖像加密或置亂算法時,必須考慮數字圖像數據自身的特點。

在數字圖像的安全性技術研究方面,國內外專家已研究出如幻方變換法、仿射變換、Arnold變換、Fibonacci變換、混沌序列置亂法、圖像分存及一些著名公鑰密碼體制方法和水印技術等。本文探討橢圓密碼公鑰體制在數字圖像置亂中的應用。

1? 橢圓曲線密碼體制

1.1 橢圓曲線簡介

　　橢圓曲線是定義在射影空間上的三次曲線,而射影空間是基于繪圖學和建筑學的需要,從研究透視技術發展而來的。

　　在射影空間中不存在平行的直線,但可假設其中的平行直線簇都相交于無窮遠處的一點(稱之為無窮遠點)。這樣,在射影空間中,相交直線和平行直線的概念得到了統一。

　　橢圓曲線的定義為:設K為一個有限域,K上的射影平面P2(K)是一些等價類的集合{(X:Y:Z)}(這里用(X:Y:Z)來表征射影平面上點的坐標),則給出Weierstrass方程:

　　可以看出它是一個三元二次方程。如果把方程右邊全部移到左邊,則左邊就是一個三元二次型。橢圓曲線E就是光滑的Weierstrass方程在射影平面P2(K)的解集合。

　　橢圓曲線E有以下特性:

　　(1)橢圓曲線E上恰好有無窮遠點,用θ(0:1:0)表示,該點一般都位于與X軸垂直的直線上。

　　(2)用X/Z=x,Y/Z=y代入(1)式,可得:

　　橢圓曲線E就是由方程(2)在射影平面P2(K)的全部平常點集外加一個無窮遠點θ構成。

　　(3)若a_i∈K(i=1,2,3,4,6),則稱橢圓曲線E是定義在K上的。

1.2 橢圓曲線上點的運算

　　設L為射影平面P2(K)上的一條直線,由于橢圓曲線E是三次曲線,所以直線L與橢圓曲線有三個交點,分別記為P、Q和R(當L與E相切時,P、Q、R可以不相異)。

　　定義一種廣義加法“”,其運算如下:

　　PQ的運算結果為過無窮遠點θ與R的直線與橢圓曲線E的交點(其中θ的位置一般位于橫坐標軸上方的無窮遠處)。

　　當L與E相切時,即在P與Q重合的情況下,PQ=2P,這就引進了點的數乘運算。

　　橢圓曲線及其數乘運算如圖1所示,該圖說明了橢圓曲線上點的數乘運算。設G=kP,其中P、G為橢圓曲線上的點,k為自然數。不失一般性,以橢圓曲線y²+y=x³-x²為例。圖中的虛線正好把下列數乘運算的結果形象地描繪出來了。

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　　從無窮遠點θ出發,按順序經過P、R、Q、M后再回到無窮遠點θ處。在這里,由于5P=PM=θ,則稱P的最小周期為5,也稱P的階為5。

1.3 基于橢圓曲線加密的原理

　　有2類有限域可用來定義橢圓曲線:(1)F_p素數有限域,其中p是奇素數。(2)F_m²特征2有限域。下面以定義在素數有限域F_p中的橢圓曲線為例對加密原理進行說明。給定一個方程:

　　其中,x、y、a、b∈F_p,則滿足這個方程的點(x,y)和一個無限遠點θ就組成了一個橢圓曲線,記為E_p(a,b)。設P,Q是該橢圓曲線上的2點,給出方程Q=xP,則由P和Q求出x是非常困難的。這正是橢圓曲線的離散對數問題,至今仍沒有有效的方法來解決該問題,而這也就是把橢圓曲線作為加密算法的原理。橢圓曲線可以用參數集T=(p,a,b,G,n,h)來表示,其中p、a、b含義如上所述,G是該橢圓曲線上的一個基點,n是G的階,h是由橢圓曲線上點的總數除以n得到。由以上參數可以惟一地確定一個橢圓曲線。然后,在[1,n-1]之間隨機地確定一個整數,計算Q=dG,由此就確定了密鑰對(d,Q)。

1.4 基于橢圓曲線的公鑰密碼體制的加/解密過程

　　本文提出一種較為簡單的用橢圓曲線實現數字圖像加密的方法。根據公式(3)的定義,一般取p為一個大的素數,設在該有限域上的橢圓曲線上包含N個點,則p滿足N=k_p,而k是一個比較小的數。

　　(1)密鑰生成

　　①從橢圓曲線Ep(a,b)上選取一點G,使得G的階n是一個大素數。②在[1,n-1]中秘密選擇整數d,這里n為G的階,計算Q=dG。③公開(p,a,b,G,Q),Q為公鑰。④保存私鑰d。

　　(2)加密過程

　　①先把明文m變換成E_p(a,b)中的一個點P_m。②在[1,n-1]選擇隨機數k,計算密文C_m=[kG,P_mkP]。③如果k使得kG或者kP為θ,則要重新選擇k。

　　(3)解密過程

　　使用私鑰d進行如下運算就可以實現解密:

　　(P_mk_P)-d(k^_G)=PmkdG-dkG=Pm

　　在計算(P_mkP)-d(kG)時,根據(PmkP)-d(kG)=(PmkP)(-d(kG))進行。???

　　從加密過程可以看到,明文m經加密之后變為二元對[kG,P_m+kP],信息量擴充了。在對圖像信息加密時,由于尋找G比較耗時間,所以本文采用的方法是對于同一個G,對應于每個象素p_ij,只在[1,n-1](n為G的周期)中產生隨機數d_ij作為私鑰。

2? 基于橢圓的公鑰密碼體制用于數字圖像數據加密

2.1 p的取值問題

　　曲線上的合法點數N(即符合正整數的要求)與p的取值有很大關系,而周期n一般小于N,d在[1,n-1]間取值。所以加密密鑰d的可選擇個數跟p值的關系也很大。

　　但由于圖像數據具有整體性(各象素是彼此相關的)和數據量大的特點,因此對于一個較小的解密矩陣D,即使其中的元素d_ij在[1,n-1]取值,也存在很多的組合。所以在圖像加密中p并非一定要取大素數,以避免找周期為大素數的G點耗時長的問題。如果顏色分量矩陣的元素值或者象素灰度階數在[0,255]間,可以取p為素數251。

2.2 把明文m轉換為橢圓曲線上面的點P_m??????

　　為把明文m(圖像象素灰度或顏色量值)轉換為橢圓曲線上面的點Pm,可以先把明文m轉變為曲線上某點的橫坐標x,然后找出其對應的縱坐標y,構成P_m(x,y)。下面采用偏移表的方法來實現。

　　如果曲線上存在某點對應的橫坐標為m,則直接把m作為橫坐標,令偏移量offset=0;否則找出曲線上的某點(x,y)作為P_m(x,y),使得該點的橫坐標與m相差最小,稱之為偏移量offset=x-m。這樣對應于整個顏色分量矩陣,就產生相應的偏移量表(Offset Table),稱之為偏移表。

2.3 圖像加密過程及實驗

　　基于橢圓曲線公鑰密碼體制的數字圖像加/解密算法流程如圖2所示。

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　　根據以上加/解密過程進行實驗,實驗圖像和加/解密圖像如圖3所示。圖中的圖像(b)和(c)分別是加密(置亂)以后和解密(復原)以后的圖像,可以看出在已知私鑰復原以后的圖像與原始圖像沒有差別,這是因為在加/解密過程中沒有損失圖像中的信息。

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3? 結? 論

　　從實驗情況來看,該方法的效果較理想。下面對橢圓曲線密碼體制用于圖像加密的安全性進行評價。

圖像信息加密的安全性通過以下3個方面來保證:

　　(1)因為橢圓曲線上點的數乘運算的特殊性,即P=dG(其中P、G為橢圓上的點,d為一個數)是單向函數,所以已知G、d求P容易;而知道P、G求d很困難。

　　(2)這里采用的解密密鑰D為一個M×N的矩陣,其中的元素為[1,n-1]間的隨機數,可以看成是從[1,n-1]間抽出M×N個整數(可以重復),然后把它們排列。排法有(n-1)^M×N種,而對于圖像來說M、N的數值很大且n也不小,所以(n-1)^M×N將是一個很大的數。

　　(3)因圖像不同位置的顏色信息加密時用到的隨機數都會不一樣,故對于同一數據利用不同的隨機數加密后將會得到不同的密文,即原來圖像中顏色一模一樣的點經過加密后會變成不同色的點,這樣可以消除變換后圖像的輪廓可見性。

　　基于以上三點,要通過求出d來破解利用橢圓曲線密碼體制加密的圖像是相當困難的。所以,從數據安全性角度說,橢圓曲線公鑰密碼體制用于圖像加密是可靠的,具有實用性。

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參考文獻

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