??? 對(duì)于以上描述的ICA模型，由于源信號(hào)S和線性組合方式A均未知，如果沒(méi)有任何先驗(yàn)知識(shí)，要想僅從觀測(cè)信號(hào)恢復(fù)出源信號(hào)是不可能的。為使問(wèn)題可解，一般做如下假設(shè)：
??? (1)各源信號(hào)之間相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立；(2)源信號(hào)間的混合方式是線性的；(3)信號(hào)中最多只允許有一個(gè)高斯信號(hào)，因?yàn)槎鄠€(gè)高斯信號(hào)的線性混合仍然服從高斯分布，從而導(dǎo)致信號(hào)不可區(qū)分；(4)觀測(cè)信號(hào)的數(shù)目不能小于獨(dú)立信號(hào)源的數(shù)目，一般討論兩者相等的情況；(5)源信號(hào)的各分量均值均為零。
??? 而且，y只是在滿足上述條件下對(duì)S的逼近。換句話說(shuō)，ICA算法任務(wù)的實(shí)質(zhì)是優(yōu)化問(wèn)題。因此ICA方法的具體實(shí)現(xiàn)主要包括兩個(gè)方面，確定優(yōu)化判據(jù)即目標(biāo)函數(shù)以及選擇優(yōu)化算法。
??? 目標(biāo)函數(shù)通常也稱為對(duì)比函數(shù)或代價(jià)函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)的定義主要是確定分析的目標(biāo)和建立判斷是否獨(dú)立的判據(jù)。ICA方法的判別依據(jù)根據(jù)度量各分量之間獨(dú)立程度的判據(jù)不同， 有多種形式。如信息最大化(info-max)方法、最大熵(ME)和最小互信息(MMI)方法、極大似然(ML)法及快速I(mǎi)CA(fastICA)方法等。其中FastICA算法使用方便，程序編寫(xiě)也比較成熟，應(yīng)用較多^[3]。對(duì)于同一個(gè)目標(biāo)函數(shù)亦可以有不同的優(yōu)化算法。常見(jiàn)的優(yōu)化算法主要有梯度法和牛頓迭代法。
1.2 FasICA算法
??? FasICA又稱為固定點(diǎn)(Fixed-Point)算法，是一種基于負(fù)熵或極大似然估計(jì)等獨(dú)立性判決準(zhǔn)則的分離算法。與普通的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法不同的是，這種算法采用了批處理的方式，即在每一步迭代中都存在大量的樣本參與運(yùn)算。另外，該算法采用了定點(diǎn)迭代(Fixed-Point Iteration)的優(yōu)化方式，使得收斂速度快且穩(wěn)健^[4-5]。
??? 使用FasICA算法分離單個(gè)獨(dú)立分量時(shí)，首先進(jìn)行白化處理，使X的相關(guān)矩陣E[XX^T]=1，即令X=BS，其中B是混合矩陣，其列向量是正交的。再考慮用kurtosis作為對(duì)比函數(shù)，從而使得kurtosis達(dá)到最大化得到W(W=B^T)。其對(duì)比函數(shù)如下：
???

??? 其中，w?=W_i(為W一行)，且||?W||=1
??? 具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：
??? (1)初始化權(quán)值向量W(0)，令||W(0)||?=1，k=1；
??? (2)迭代運(yùn)算：w(k)=E[x(W(k-1)^Tx³]-3W(k-1)，W=(bj)且||W||?=1，bj為B的第j列，其中數(shù)學(xué)期望可以用X的大量樣本點(diǎn)的均值代替；
??? (3)將W(k)標(biāo)準(zhǔn)化，即W(k)/||?W(k)||；
??? (4)如果W(k)^TW(k-1)不是足夠地接近1，令k=k+1，返回步驟2，否則輸出向量W(k)。算法最后給出的向量W(k)意味著分離了混合信號(hào)x(k)中的一個(gè)非高斯信號(hào)W(k)^Tx(k)，其中k=1,2…等于其中的一個(gè)源信號(hào)^[6-7]。
??? 對(duì)于多個(gè)獨(dú)立分量，可重復(fù)使用上述過(guò)程進(jìn)行分離，但每提取出一個(gè)獨(dú)立分量后，要從觀測(cè)信號(hào)中減去這一獨(dú)立分量，如此重復(fù)，直到所有獨(dú)立分量完全分離。
??? 與其他ICA算法相比，F(xiàn)astICA有以下優(yōu)點(diǎn)：(1)立方收斂，相比普通的基于梯度下降方法的線性收斂，收斂速度更快；(2)不需要選擇學(xué)習(xí)步長(zhǎng)或其他參數(shù)，更易使用；(3)不管是具有超高斯分布還是亞高斯分布的分量都能被提取出來(lái)；(4)獨(dú)立成分可以逐個(gè)估計(jì)，在僅需要估計(jì)幾個(gè)(不是全部)獨(dú)立分量的情況下，能減少計(jì)算量。(5)FastICA還有許多神經(jīng)算法的優(yōu)點(diǎn)，如并行、計(jì)算簡(jiǎn)單、要求的內(nèi)存少等。
2 ICA在心電信號(hào)處理中的應(yīng)用
??? 工頻干擾是由電力系統(tǒng)引起的一種干擾，由50Hz及其諧波構(gòu)成，是心電信號(hào)中最常見(jiàn)的干擾源之一。可以說(shuō)消除工頻干擾是心電信號(hào)檢測(cè)與處理過(guò)程中最經(jīng)典的話題。
??? 由于心電信號(hào)和工頻干擾信號(hào)可以被看成是由不同的相對(duì)獨(dú)立的源產(chǎn)生的，因此可以認(rèn)為它們之間是相互獨(dú)立的，觀測(cè)到的信號(hào)混合方式是線性的；嚴(yán)格地說(shuō)心電信號(hào)及這些干擾信號(hào)都不是高斯信號(hào)，這樣就滿足了ICA的前3個(gè)條件，對(duì)于第4個(gè)條件，可以通過(guò)增加通道數(shù)目來(lái)滿足。因此在實(shí)驗(yàn)中，可以利用ICA算法來(lái)分離源信號(hào)，消除工頻干擾。
??? 工頻干擾的數(shù)學(xué)模型可表示為：
???
??? 其中，A, f, θ分別為工頻干擾的幅值、頻率以及相位。f為50?Hz，而A, θ為未知的參數(shù)，且θ通常較難估計(jì)。利用sin(2π?f?)和cos(2π?f??)的線性組合可以得到任何相位的正弦信號(hào)，因此用一個(gè)正弦信號(hào)s₁(t)=sin(2π?ft)和一個(gè)余弦信號(hào)s₂(t)=cos(2π?ft)正交來(lái)構(gòu)造工頻干擾源。
??? 圖2為原始心電信號(hào)(數(shù)據(jù)來(lái)源于MIT-BIH Arrhythmia Database，采樣個(gè)數(shù)為3?000)以及所構(gòu)造的工頻干擾信號(hào)。將這三路信號(hào)混合后的觀測(cè)信號(hào)作為FastICA算法的輸入，即可分離出相應(yīng)的工頻干擾，分離結(jié)果如圖3所示。

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