??? 摘 要：針對考慮最小交易量、交易費用，以及單項目最大投資上限約束的多目標投資組合模型，對目標函數添加懲罰函數項來處理約束條件的方法。本文通過對交叉算子、變異算子的改進，設計了一種遺傳算法進行求解。實驗算例表明，該算法是有效的。
??? 關鍵詞：投資組合；多目標；遺傳算法；異常變異
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??? 風險投資具有高風險、高收益、高增長潛力和高技術的特點,如何增加風險投資的收益潛力,降低風險,是極其重要的。
??? 在金融市場眾多可供投資的風險或無風險資產中(股票、債券、投資基金、權益產品、銀行存款等), 選擇適當數量的資產, 進行合理的組合投資, 可以減小投資的風險, 確保投資的收益。Markowitz[1]于1952年提出的均值-方差組合模型是在禁止融資和沒有無風險借貸的假設下,以個別股票收益率的均值和方差找出投資組合的有效前沿(Efficient Frontier),即一定收益率水平下方差最小的投資組合。這是一個二次規劃問題，利用傳統的優化方法容易求解。
??? 最小交易量和交易費用是投資組合中的重要因素，最小交易量是單筆交易中最小的交易數量，我國上海和深圳交易所的股票交易中，最小交易量為100股，近來投資組合優化問題的研究中有些考慮了最小交易量[2-3]。? 交易費用是指交易中所要支付的費用。沒有交易費的證券組合投資將導致證券市場的無序。我國為了規范證券市場，在交易中要征收個人所得稅、印花稅等費用。參考文獻[4]、[5]也有考慮。參考文獻[6]中同時考慮了最小交易量和交易費用，建立了一個改進的多目標投資組合優化模型。該模型是一個帶有很強約束的混合整數二次規劃模型。針對這一模型，本文通過對目標函數加入懲罰項的方法，使得約束條件降弱，對轉化后的模型，運用一種改進的整數編碼的遺傳算法進行求解，數值實驗表明，該算法是有效的。
1? 考慮最小交易量和交易費用的投資組合模型
1.1 傳統的多目標投資組合優化模型
??? 設有N種不同的投資項目，xi,i=1,2…,N表示投資各個項目所占總投資金額的比重，μi表示投資項目i的期望收益率，
分別表示投資項目i收益率的方差及與投資項目j收益率的協方差的無偏估計：
??? 
?????????????
??? 則投資組合的期望收益可表示為
??? 投資組合的風險表示為：
??? 
??? 對投資者來說，總是希望投資的期望收益盡可能的大，同時風險又盡可能的小，因此就得到了目標函數，即：
??? 
??? 令
表示投資者對風險的厭惡指數，則(1)式可轉化為：
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??? 當λ=0表示投資者更關注收益，是收益最大化，并沒有考慮風險；當λ=1，表示投資者更關注風險，而不考慮收益。再加上對投資總額的限制，可以得到傳統的多目標投資組合優化模型：
??? 
1.2 改進的多目標投資組合優化模型[6]
??? 假設投資總金額為C，可允許的最小值和最大值為C0和C1，假設最小交易量為NB個基本單位，投資i的單位價格為Pi，則投資i的最小投資金額為ci=NB×pi。設一種投資組合k=(k1,k2,…,kN)，則投資的總金額
。設交易費用為g(C)，則投資組合的期望收益率為：
??? 
??? 設μi為投資i允許的最大投資金額，則可得到改進的多目標投資組合優化模型：
??? 
這是一個混合整數的二次規劃問題，是NP完全問題，用傳統的優化方法很難求解。根據優化方法，在目標函數中加入懲罰項來處理約束，如式(6)，設M是一個大自然數，則模型轉化為：
??? 當投資組合不滿足式(6)時，式(8)的目標函數值將會很大，而投資組合就受到懲罰，從而達到與約束式(6)相同的約束作用。
2? 整數編碼的遺傳算法
2.1遺傳算法的改進策略
2.1.1編碼策略
??? 傳統的遺傳算法是二進制編碼，采用整數編碼的策略，每個染色體對應一種投資組合，直接用整數向量k=(k1,k2,…kN)表示，每個ki的取值在
之間，其中
為下取整運算。這樣得到的編碼可滿足式(7)。
2.1.2 交叉策略
??? 本算法采用單個染色體，單點交叉的策略，即任意兩個染色體的任意位的等位基因相互交叉。
2.1.3 變異策略
??? 本算法采用群體變異策略，即所有染色體，每個基因位都等概率地發生變異，變異算子如下：
??? 
??? 其中β為變異步長，取正整數。
2.1.4 異常變異策略
??? 為了防止算法早熟，采用了異常變異策略，當交叉和變異進行了D代之后，或者種群的適應度聚度超過某一閾值α之后，整個群體發生無方向變異(最簡單的方法是重新初始化種群)，受參考文獻[7]的啟發，適應度聚度如下：
??? 
表示交叉和變異t代時染色體i的適應度(文中取為適應值)。
2.2遺傳算法步驟
??? (1)參數設定：設定種群規模為N，進化代數為H，異常變異發生代數為D，異常變異的適應度聚度閾值為α。
??? (2)初始化種群：根據編碼策略初始化種群，記錄最優值。
??? (3)交叉和變異：按照法則進行交叉和變異，更新最優值。
??? (4)異常變異：若交叉和變異代數等于D，或者適應度聚度滿足S≥α，則轉到(2)。
??? (5)終止檢驗：若滿足進化終止準則，終止計算，輸出最優值。
3? 仿真算例
??? 考慮如下的投資組合問題：有6種股票，表1給出了6種股票8個時間段的收益率，表2給出了6種股票的協方差，表3給出了6種股票的價格。
??? 假設股票的最小交易量NB=100，C0=1 000 000，C1=1 005 000，并令每種股票的最大交易金額μi=200 000，i=1,2…,N，交易費用設為0.01C，分別取λ=0、0.2、0.4、0.6、0.8、1.0，閾值取α=0.8、0.85、0.9，種群規模為50，進化代數為2 000，異常變異代數為50，變異步長為1，在Genuine Intel(R) CPU T2050 @1.60 GHz、1.05 GHz、1.00 GB內存的計算機上用Matlab7.0編寫程序進行計算，每次計算獨立運行50次，取其平均值，結果如表4所示。
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??? 由表4可以看出：
??? (1)該算法求解上述模型得到了很好的結果，計算時間不超過1min；
??? (2)對于取不同閾值得到的平均適應值與最優適應值的相對誤差在10-2之內，說明算法是穩定的。
??? (3)當閾值取0.85左右時，效果更好。
??? (4)平均計算時間隨閾值的增加而增加。
??? 本文針對考慮最小交易量、交易費用以及投資項目的最大上限約束的多目標投資組合優化模型，通過在目標函數中加入懲罰項來處理投資總金額的約束，將模型的約束條件弱化，并提出了一種整數編碼的遺傳算法，該算法求解多目標投資組合優化模型是可行的、有效的。
參考文獻
[1]?Markowitz? H. Portfolio selection[J]. Journal of Finance,1952,7(1):77-91.
[2]?Kellerer H, Mansini? R, Speranza M G. On selecting a portfolio with fixed costs ang minimum lots[J].Annals of Oprations Research,2000,99(3):287-304.
[3]?Fernandez? A,? Gomez? S. Portfolio selection using neural networks. Computer & Operations Research.2007;(34):1177-1191.
[4]?Chang? T? J, Meade N, Beasley J, et al. Heuristics for cardinality constrained portfolio optimization.Computer & Operations Research, 2000(27):1271-1302.
[5]?趙娟，李科學. 有交易費的證券組合投資優化模型. 華北水利水電學院學報， 2006, 27(2):110-112.
[6]?林丹，李小明，王萍. 用遺傳算法求解改進的投資組合模型. 系統工程，2005, 23(8): 68-72.
[7]?Duan Yu Hong，GAO Yue Lin， LI Ji Min. A new adaptive particle swarm optimization algorithm with dynamically changing inertia weight. Intelligent Information Management Systems and Technologies, 2006, 2(2): 245-255.