控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化方法已有許多文獻(xiàn)作了論述^[1][2][3]，
　　這些方法大多是基于估計(jì)目標(biāo)函數(shù)對優(yōu)化變量的梯度信息進(jìn)行優(yōu)化。而對非線性控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化問題，由于控制系統(tǒng)具有非線性特性，基于估計(jì)目標(biāo)函數(shù)對優(yōu)化變量的梯度信息進(jìn)行優(yōu)化的方法就顯得無能為力了。
　　遺傳算法是最新興起的智能計(jì)算技術(shù)，是一種借鑒生物界自然選擇和自然遺傳機(jī)制的高度并行、隨機(jī)自適應(yīng)搜索算法，具有能快速有效地搜索復(fù)雜、高度非線性的多維空間的特點(diǎn)，通過反復(fù)迭代，最終能夠找到全局最優(yōu)。由于遺傳算法是在解空間的多個(gè)區(qū)域內(nèi)進(jìn)行搜索，能以較大的概率跳出局部最優(yōu)，因此可找到整體最優(yōu)解。仿真結(jié)果表明，該方法是一種有效的方法。它主要用于處理最優(yōu)化問題和機(jī)器學(xué)習(xí)。隱含并行性和有效利用全局信息是遺傳算法的兩大顯著特點(diǎn)，前者使遺傳算法只須檢測少量的結(jié)構(gòu)就能反映搜索空間的大量區(qū)域；后者使遺傳算法具有穩(wěn)健性。遺傳算法尤其適于處理傳統(tǒng)搜索方法解決不了的復(fù)雜的非線性問題。
　　本文提出的仿真優(yōu)化方法采用了實(shí)數(shù)編碼方案，確定了適應(yīng)值函數(shù)的度量，選擇了群體規(guī)模、代數(shù)、遺傳算子及其概率參數(shù)、停止準(zhǔn)則等控制參數(shù)初始值，并給出了仿真實(shí)例。結(jié)果表明，該方法是一種有效的非線性控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化方法。
1 問題的描述
1.1 函數(shù)優(yōu)化問題的描述
　　函數(shù)優(yōu)化問題可以描述為：
　　

　　這里SRⁿ稱為搜索空間，f:S→R稱為目標(biāo)函數(shù)，(1)式描述的優(yōu)化問題稱為極大化問題，(2)式描述的稱為極小化問題。
　　定義1　對最優(yōu)化問題(1)式，設(shè)x·∈S，若存在δ＞0,使得當(dāng)x∈S∩{x:‖x－x·‖＜δ}時(shí)有:
　　f(x·)≥f(x)　　　　　　(3)
　　則稱x·是f在S上的一個(gè)局部最優(yōu)點(diǎn)，解f(x·)稱為一個(gè)局部最優(yōu)值。若(3)式中的嚴(yán)格不等式成立，則x·和f(x·)分別稱為嚴(yán)格局部最優(yōu)點(diǎn)和嚴(yán)格局部最優(yōu)值。
　　定義2　對最優(yōu)化問題(1)式，設(shè)x·∈S，若存在δ＞0,使得對任意x·∈S都有:
　　f(x·)≥f(x)　　　　　　(4)
　　則稱x·是f在S上的一個(gè)全局極大點(diǎn)或整體最優(yōu)點(diǎn)，f(x·)稱為整體最優(yōu)值。若(4)式中的嚴(yán)格不等式成立，則x·和f(x·)分別稱為嚴(yán)格整體最優(yōu)點(diǎn)和嚴(yán)格整體最優(yōu)值。
1.2 遺傳算法的描述
　　遺傳算法是從任一初始化的群體出發(fā)，通過隨機(jī)選擇、雜交和變異等遺傳操作，使群體一代一代地進(jìn)化到搜索空間中越來越好的區(qū)域，直至抵達(dá)最優(yōu)解點(diǎn)，即高適應(yīng)值點(diǎn)。該算法可表述為：
　　Ω_k＝U_k∪V_k
　　U_k＝{I₁,I₂…,I_M}
　　V_k＝{I_M+1,I_M+2…,I_N}
　　E_c:I_i→S_i
　　D_c:S_i→I_i
　　F_i＝ff(I_i) 1≤i≤N
其中:Ω_k——第k代群體；
　　 U_k——第k代群體中的父代；
　　 V_k——第k代群體中的子代；
　　 I_k——第k代群體中的每個(gè)個(gè)體；
　　 E_c——編碼算子；
　　 D_c——譯碼算子；
　　 S_i——個(gè)體Ii被編碼后的碼串a(chǎn)₁a₂…a₁；
　　 ff——適應(yīng)值函數(shù)。
　　遺傳操作的隨機(jī)選擇可描述為：
　　
　　表示適應(yīng)值越大的個(gè)體進(jìn)入子代且機(jī)會越多，執(zhí)行選擇的概率就越高。
　　遺傳操作的雜交可描述為：
　　
　　如果隨機(jī)實(shí)數(shù)小于雜交率Pc，則執(zhí)行雜交，否則執(zhí)行復(fù)制。
　　遺傳操作的變異可描述為:

　　?? ELSE NULL

　如果隨機(jī)實(shí)數(shù)小于變異率P_m，則產(chǎn)生一隨機(jī)整數(shù)r，并在第r位執(zhí)行變異。
2 基于非線性控制系統(tǒng)優(yōu)化的遺傳算法
　　非線性控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化問題屬于非線性優(yōu)化問題。對于非線性優(yōu)化問題，只有在函數(shù)性質(zhì)比較好(可微、駐點(diǎn)能解析地計(jì)算等)的情況下，才能獲得滿意的結(jié)果。對于復(fù)雜的函數(shù)優(yōu)化問題，一般只能采用基于迭代原理的數(shù)值解法，但這些解法通常難以找到全局最優(yōu)解，而且仍然要對求解函數(shù)的性質(zhì)作諸多的限制。而遺傳算法在解決這類問題時(shí)通常能發(fā)揮它的優(yōu)勢。
　　當(dāng)遺傳算法用于求解非線性控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化問題時(shí)，需要解決兩個(gè)問題：非線性控制系統(tǒng)的模型仿真和遺傳算法的設(shè)計(jì)。兩者聯(lián)系的紐帶是目標(biāo)函數(shù)的獲取以及目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換成適應(yīng)值函數(shù)。在非線性控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化方法中，目標(biāo)函數(shù)可采用多種定義，如誤差平方積分、時(shí)間乘誤差平方積分、誤差絕對值積分及加權(quán)二次型性能指標(biāo)等，它取決于非線性控制系統(tǒng)的誤差。非線性控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化的前提是希望產(chǎn)生的誤差最小，求解目標(biāo)很自然地被表示成某個(gè)目標(biāo)函數(shù)f(x)的極小化，而不是某個(gè)適應(yīng)值函數(shù)F(x)的極大化。因此，常常需要通過一次或多次變換把目標(biāo)函數(shù)f(x)轉(zhuǎn)化為適應(yīng)值函數(shù)F(x)。目前經(jīng)常用到的適應(yīng)值函數(shù)變換方法有：線性比例變換、冪比例變換、指數(shù)比例變換及引入某一比例參數(shù)等。一旦獲得了適應(yīng)值函數(shù)，即可進(jìn)行遺傳操作，所以，非線性控制系統(tǒng)的模型仿真是不能獨(dú)立于遺傳算法的設(shè)計(jì)的，兩者應(yīng)統(tǒng)一起來考慮。其程序流程圖如圖1所示。

　　首先隨機(jī)生成一初始群體，并確定編碼方案及遺傳算法初始化參數(shù);接著對群體中的個(gè)體進(jìn)行譯碼，該譯碼值即為非線性控制系統(tǒng)的尋優(yōu)參數(shù)，這樣就可對非線性控制系統(tǒng)進(jìn)行動態(tài)仿真，獲得誤差目標(biāo)函數(shù);再通過一函數(shù)變換，目標(biāo)函數(shù)即可轉(zhuǎn)化成適應(yīng)值函數(shù);最后根據(jù)適應(yīng)值的大小，執(zhí)行選擇、雜交和變異等遺傳操作，直到滿足終止條件為止。
　　對于非線性控制系統(tǒng)的模型仿真，本文采用的是MATLAB的SIMULINK軟件，由于尋優(yōu)參數(shù)是變量，因此對不同的問題要設(shè)計(jì)不同的S函數(shù)，可參閱文獻(xiàn)[4][5][6]。對于遺傳算法的設(shè)計(jì)，需要考慮下面幾方面的問題:
　　(1)確定編碼方案：編碼方案的選擇對算法的性能、效率等產(chǎn)生很大的影響。遺傳算法在求解高維或復(fù)雜問題時(shí)常常使用實(shí)數(shù)編碼。實(shí)數(shù)編碼表示比較自然，而且較易引入非線性控制系統(tǒng)領(lǐng)域內(nèi)的知識。搜索空間S上的每個(gè)點(diǎn)x可表示為一個(gè)n維實(shí)向量，其中n表示遺傳算法優(yōu)化參數(shù)的個(gè)數(shù)。
　　(2)控制參數(shù)初始化的確定：選擇一個(gè)整數(shù)M作為群體規(guī)模的參數(shù)，然后從S上隨機(jī)地選取M個(gè)點(diǎn)x(i,0),i＝1…，M，這些點(diǎn)組成初始群體P(0)＝{x(1,0),…，x(M,0)}。群體規(guī)模影響遺傳算法的最終性能和效率。群體規(guī)模的經(jīng)驗(yàn)取值一般為M＝20～100。
　　雜交概率是控制雜交算子的應(yīng)用頻率，雜交率越高，群體中串的更新就越快，這樣高性能的串被破壞得也就越快；而雜交率過低，搜索可能會停滯不前。雜交率的經(jīng)驗(yàn)取值一般為pc＝0.60～0.95。變異是增加群體的多樣性，變異概率經(jīng)驗(yàn)取值一般為p_m＝0.001～0.01。
　　(3)確定適應(yīng)值函數(shù)：適應(yīng)值用來區(qū)分群體中個(gè)體的好壞，適應(yīng)值越大的個(gè)體性能越好，反之，適應(yīng)值越小的個(gè)體性能越差。遺傳算法正是基于適應(yīng)值對個(gè)體進(jìn)行選擇，以保證適應(yīng)值好的個(gè)體有機(jī)會在下一代中產(chǎn)生更多的子個(gè)體。
　　設(shè)f(x)為非線性控制系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)，C_max為其最大值，則適應(yīng)值函數(shù)F(x)可表示為:
　　
　　其中，x∈SRⁿ，f(x)為一泛函，表示控制系統(tǒng)誤差函數(shù)的函數(shù)。
　　(4)確定選擇策略：優(yōu)勝劣汰的選擇機(jī)制使得適應(yīng)值大的解有較高的存活概率，這是遺傳算法與一般搜索算法的主要區(qū)別之一。對每個(gè)個(gè)體x(i,k)，其生存概率為：
　　

　　其中k表示代數(shù)，則每個(gè)個(gè)體的繁殖量為N_i＝round(p_i^k·N)，其中round(x)表示與x距離最小的整數(shù)。顯然，個(gè)體x(i,k)的生存概率p_i^k越大，繁殖量Ni也越大，進(jìn)行交配的機(jī)會也就越多。
　　(5)設(shè)計(jì)遺傳算子：遺傳算子包括繁殖算子、雜交算子和變異算子。雜交算子是模擬生物界的有性繁殖，它的引入是遺傳算法區(qū)別于其它所有優(yōu)化算法的根本所在，同時(shí)也是遺傳算法中最重要的部分。變異算子可視為與繁殖算子或雜交算子一起連續(xù)發(fā)生的操作，故一個(gè)給定個(gè)體可以在一代內(nèi)進(jìn)行繁殖和變異，或進(jìn)行雜交和變異。
　　在非線性控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化中，由于采用了實(shí)數(shù)編碼方案，設(shè)計(jì)遺傳算子時(shí)就應(yīng)以實(shí)數(shù)編碼方案為前提。在實(shí)數(shù)編碼時(shí)，雜交算子有離散雜交和算術(shù)雜交兩種方式，本文采用離散雜交方式。在實(shí)數(shù)編碼時(shí)，變異算子有均勻性變異、正態(tài)性變異、非一致性變異、自適應(yīng)性變異和多級變異幾種方式，本文采用均勻性變異算子。
　　(6)確定算法的終止準(zhǔn)則：由于遺傳算法沒有利用目標(biāo)函數(shù)的梯度等信息，所以無法確定個(gè)體在解空間的位置，從而無法用傳統(tǒng)的方法來判定算法的收斂與否以終止算法。通常是預(yù)先規(guī)定一個(gè)最大代數(shù)或算法在連續(xù)多少代以后解的適應(yīng)值沒有明顯改進(jìn)時(shí)，即終止。
3 仿真實(shí)例
　　已知一非線性控制系統(tǒng)，由飽和非線性環(huán)節(jié)、速率限制非線性環(huán)節(jié)和三階系統(tǒng)組成，系統(tǒng)參數(shù)及其結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。這是工業(yè)控制系統(tǒng)中存在較多的一種典型控制過程，該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖3所示。從系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)可以看出，這是一不穩(wěn)定的振蕩非線性系統(tǒng)。對這一不穩(wěn)定的非線性控制系統(tǒng)，通常采用PID調(diào)節(jié)器進(jìn)行校正，校正后其結(jié)構(gòu)框圖如圖4所示。

　　設(shè)PID調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)為：
　　
　　其中，K_P、T_I、T_D分別為PID調(diào)節(jié)器比例、積分、微分的尋優(yōu)參數(shù)。用MATLAB仿真時(shí)，將PID調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)為比例、積分、微分參變量的S函數(shù)，這樣可以方便遺傳算法的求解。
　　從圖4可知，誤差信號為e(t)＝r(t)－y(t)，取目標(biāo)函數(shù)為誤差平方積分，即，其中積分上限t應(yīng)以調(diào)節(jié)時(shí)間為基準(zhǔn)，選得足夠大，本文選50s或100s。根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的定義及誤差的大小，從目標(biāo)函數(shù)到適應(yīng)值函數(shù)的變換為:
　　
　　仿真實(shí)現(xiàn)時(shí)，設(shè)PID調(diào)節(jié)器給定最優(yōu)化初始值為K_P＝0.63，T_I＝0.0504s,T_D＝1.9688s。對于這組初始值，可得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，如圖5所示。采用圖1所示的遺傳算法時(shí)，設(shè)群體規(guī)模N＝10，雜交概率p_c＝0.25，變異概率p_m＝0.001，最大代數(shù)k＝10，因此可得PID調(diào)節(jié)器最優(yōu)化參數(shù)值為K_P＝3.6232，T_I＝0.1175s,T_D＝16.9950s,此時(shí)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖6所示。采用文獻(xiàn)[6]所述的常規(guī)方法進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，最優(yōu)化參數(shù)為KP_P＝1.3353，T_I＝0.1547s,T_D＝8.3280s，此時(shí)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖7所示。

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