??? 摘 要： 研究了基于混合核函數(shù)" title="核函數(shù)">核函數(shù)的最小二乘支持向量機(jī)（LS-SVM" title="LS-SVM">LS-SVM）的圖像邊緣檢測" title="邊緣檢測">邊緣檢測技術(shù)，利用LS-SVM對圖像像素鄰域的灰度值進(jìn)行了曲面擬合，通過混合核函數(shù)推導(dǎo)出了圖像的梯度算子和零交叉算子，并結(jié)合梯度算子和零交叉算子實現(xiàn)了圖像邊緣定位。
??? 關(guān)鍵詞： 邊緣檢測? 最小二乘支持向量機(jī)? 混合核函數(shù)? 邊緣檢測性能
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??? 邊緣檢測往往是其他圖像處理技術(shù)的基礎(chǔ)。傳統(tǒng)的邊緣檢測算子如Sobel、Prewitt、Robert等，對噪聲很敏感。近幾十年來，有很多學(xué)者圍繞邊緣檢測問題提出了很多算法[1-4]。在邊緣檢測算法中，曲面擬合方法抗噪性強(qiáng)、檢測精度高，是近年來出現(xiàn)的比較好的方法。近年來，支持向量機(jī)SVM(Support Vecror Machine)也得到了巨大的發(fā)展[5]。其中最小二乘支持向量機(jī)LS-SVM[6](Least Squares SVM)在函數(shù)估計中應(yīng)用較多。LS-SVM的許多特性是由所選擇的核函數(shù)決定的，一種改進(jìn)的方法是把多個核函數(shù)線性組合起來形成一種混合核函數(shù)[7]，由這種混合核函數(shù)構(gòu)造的LS-SVM不僅學(xué)習(xí)能力強(qiáng)，而且具有很好的推廣性。本文利用混合核函數(shù)（采用3×3大小的卷積核）對圖像邊緣提取進(jìn)行研究。實驗結(jié)果表明，在信噪比" title="信噪比">信噪比較小的情況下，該方法比單獨(dú)使用高斯" title="高斯">高斯核或者多項式核進(jìn)行邊緣提取的性能要好。
1 LS-SVM
1.1 LS-SVM原理
??? LS-SVM是統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論中常用的方法，其思想如下：給定訓(xùn)練樣本集
，通過非線性變換φ(·)把n維輸入向量xi和輸出樣本向量yi從原空間Rn映射到高維特征空間F，在此空間中構(gòu)成最優(yōu)線性決策函數(shù)：
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式中，ω為超平面權(quán)值向量，b為偏置項。
??? 對于LS-SVM，可以得到如下線形方程[8]：
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式中，
，表示拉格朗日乘子；Zkn=φ(xk)T·φ(xn)；常數(shù)γ>0，它對超出誤差的樣本的懲罰程度進(jìn)行控制；I表示單位矩陣。
??? 根據(jù)Mercer條件，存在一個映射函數(shù)φ，并可選擇一個核函數(shù)K滿足下列條件：
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??? 這樣，基于LS-SVM的函數(shù)估計表達(dá)式為：
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式中，αk和b是(4)式的解，具體的形式取決于核函數(shù)K(x，xk)的類型。
1.2 LS-SVM核函數(shù)分類
??? 目前研究最多的核函數(shù)主要有以下幾類：
??? (1)局部性核函數(shù)，僅僅在測試點(diǎn)附近的小鄰域?qū)?shù)據(jù)點(diǎn)有影響。其中應(yīng)用較多的是徑向積核函數(shù)（RBF）：K(x，xk)=exp{-|x-xk|2/δ2}，式中δ2是高斯核寬度。
??? (2)全局性核函數(shù)，允許遠(yuǎn)離測試輸入的數(shù)據(jù)點(diǎn)對核函數(shù)的值也有影響。其中應(yīng)用較多的是多項式核函數(shù)（Poly）：K(x，xk)=(x·xk+1)d，式中d是多項式的次數(shù)。
??? (3)混合核函數(shù)，因為局部性核函數(shù)學(xué)習(xí)能力強(qiáng)、泛化性能較弱，而全局性核函數(shù)泛化性能強(qiáng)、學(xué)習(xí)能力較弱，因此把這兩類核函數(shù)混合起來[9]。本文采用的Kmix=λKpoly+(1-λ)Krbf就是混合核函數(shù)中的一種，并且滿足Mercer條件。式中混合系數(shù)λ∈(0，1)。
2 基于LS-SVM的圖像邊緣檢測
2.1 利用LS-SVM進(jìn)行圖像擬合的原理[8]
??? 一幅二維灰度圖像可以認(rèn)為是一個連續(xù)的函數(shù)：y=f(x)：R2→R1，x是二維向量，表示像素點(diǎn)的行、列坐標(biāo)，輸出y是一個標(biāo)量，表示輸入向量x所對應(yīng)的像素點(diǎn)的灰度值。通過LS-SVM算法可以在像素鄰域大小確定的情況下構(gòu)建出輸出向量和像素點(diǎn)之間的關(guān)系。令Ω＝Z+γ-1I，A=Ω-1，B=ΠTΩ-1/ΩTΠ-1Π，則由式（2）可以得到如下等式：
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式中，A和B在實際計算中可以預(yù)先計算，與圖像灰度值無關(guān)，從而降低了實時運(yùn)算的復(fù)雜度。通過選用不同的核函數(shù)可以得到不同的曲面擬合形式。
??? 設(shè)R和C為原始圖像中某一個像素的對稱鄰域內(nèi)的坐標(biāo)集，例如R={-1，0，1}，C={-1，0，1}。在混合核函數(shù)的LS-SVM中，定義在矢量空間的圖像灰度曲面擬合函數(shù)可寫成如下形式：
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式中，αi、b是（2）式的解，d是多項式的階次， ?姿是混合系數(shù)，?滓2是高斯核參數(shù)，f(r，c)是點(diǎn)(r，c)的灰度估計值。
2.2 圖像梯度算子和零交叉算子計算
??? 采用混合核函數(shù)的LS-SVM進(jìn)行圖像曲面擬合時，對于點(diǎn)(r，c)，其一階和二階的水平和垂直方向上的偏導(dǎo)數(shù)如下：
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式中，E=exp{-(|r-ri|2+|c-ci|2)/δ2}，D=(r·ri+c·ci)。根據(jù)式（5）把?琢的關(guān)系式帶入偏微分方程（7）～（10）式中，可得：
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??? 可以看出，圖像的梯度算子和零交叉算子可以由支持向量機(jī)核參數(shù)和卷積核大小直接求出，不用訓(xùn)練，實現(xiàn)起來比較容易，而且梯度算子和零交叉算子是來自于同一LS-SVM擬合曲面函數(shù)，因此可以同時綜合梯度和零交叉點(diǎn)進(jìn)行邊緣的定位和檢測。
2.3 圖像邊緣檢測算法的實現(xiàn)
??? (1)采用高斯濾波器對圖像進(jìn)行去噪預(yù)處理；
??? (2)利用模板Fr、Fc和圖像卷積得到圖像水平、垂直方向的梯度，并對梯度進(jìn)行閾值化，得到梯度所確定的邊緣圖S1；
??? (3)利用模板Fu和圖像卷積得到圖像二階導(dǎo)數(shù)并查找零交叉點(diǎn)，得到基于零交叉點(diǎn)的邊緣圖S2；
??? (4)對邊緣圖S1和S2進(jìn)行“與”運(yùn)算，得到邊緣圖S；
??? (5)去除邊緣圖S的離散點(diǎn)，并對其細(xì)化，得到最終的邊緣檢測圖。
3 實驗分析
3.1 邊緣檢測的性能指標(biāo)
??? Abdou和Pratt提出了一種評價邊緣檢測性能的客觀標(biāo)準(zhǔn)[10]，其定義為：
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式中，Ii表示實際檢測到的邊緣像素點(diǎn)與最近的理想邊緣像素點(diǎn)之間的距離；ID和IL分別為實際檢測到的邊緣像素個數(shù)和理想的邊緣檢測像素個數(shù)。α是懲罰因子，取0到1之間的正數(shù)。實驗中采用圖1所示的測試圖像，通過對測試圖像引入噪聲，利用不同的核函數(shù)算法對噪聲圖像進(jìn)行邊緣提取，得出邊緣檢測性能指標(biāo)P， P值越大，說明檢測的性能越好。
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3.2 實驗結(jié)果分析
??? 利用混合核函數(shù)的LS-SVM算法提取圖像邊緣，混合系數(shù)與邊緣檢測的性能緊密聯(lián)系。在SNR=10dB時比較了大小為3×3的卷積核對應(yīng)不同的混合系數(shù)所得到的性能，并在不同信噪比情況下同Canny法進(jìn)行比較，其結(jié)果如圖2和圖3所示。
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??? 在圖2中，λ＝0時對應(yīng)的是徑向積核函數(shù)LS-SVM的邊緣檢測性能；λ＝1時對應(yīng)的是多項式核函數(shù)LS-SVM的邊緣檢測性能；當(dāng)λ取0到1之間的數(shù)值時對應(yīng)的是混合核函數(shù)LS-SVM的邊緣檢測性能。從圖2可以看到，若能選取適當(dāng)?shù)幕旌舷禂?shù)，采用混合核函數(shù)的LS-SVM所得到的邊緣檢測性能要優(yōu)于單獨(dú)使用多項式核函數(shù)或者徑向積核函數(shù)的LS-SVM算法所得到的邊緣檢測性能。圖3則表明在噪聲情況下混合核函數(shù)的LS-SVM算法的檢測性能要優(yōu)于Canny方法的檢測性能。利用LS-SVM方法和Canny法分別提取Lena,Rice圖像的邊緣效果圖如圖4所示。
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??? 實驗中采用圖1所示的合成測試圖，分別加入信噪比為5dB、10dB、15dB、20dB、25dB的高斯噪聲進(jìn)行邊緣提取，幾種邊緣檢測性能P的值如表1所示。
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??? 從表1可以看出，利用LS-SVM方法比Canny方法可以獲得更好的邊緣檢測性能。而利用LS-SVM提取圖像邊緣時，在信噪比較高的情況下采用混合核函數(shù)得到的性能和單獨(dú)使用高斯核函數(shù)或者多項式核函數(shù)的性能是一樣的，但是在低信噪比的情況下，通過采用不同的混合系數(shù)，混合核函數(shù)所表現(xiàn)出來的性能要比單獨(dú)使用高斯核或者多項式核函數(shù)的性能更好。
??? 本文利用最小二乘支持向量機(jī)對圖像像素鄰域的灰度值進(jìn)行曲面擬合，在核函數(shù)為高斯、多項式以及混合核時，直接求出圖像灰度擬合曲面的一階和二階導(dǎo)數(shù)，從而得到梯度算子和零交叉算子。為進(jìn)一步反映該算法邊緣檢測性能，本文通過實驗確定了不同信噪比下的最佳混合系數(shù)，通過與Canny法比較得到了如下結(jié)論：
???(1)基于LS-SVM的邊緣檢測方法在有噪聲情況下可以獲得比Canny方法更優(yōu)越的性能；
?? (2)在信噪比較高的情況下，采用混合核與采用高斯和多項式核的LS-SVM獲得的性能是一樣的，此時混合系數(shù)的大小與檢測性能無關(guān)；
?? (3)在信噪比較低的情況下，通過選擇合適的混合系數(shù)，采用混合核的LS-SVM獲得的檢測性能要優(yōu)于采用高斯核、多項式核的LS-SVM獲得的檢測性能。
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