0 引言

    小波變換具有良好的多分辨率和時頻局域化的特點, 因而成為分析非平穩信號和瞬變信號強有力的數學工具^[1-2]。工程中的絕大多數信號均為瞬變、非平穩信號，由于傅里葉變換不能提供信號的時頻域局域化分析，人們提出用短時窗分析信號的短時傅里葉變換。但因分辨率單一，短時傅里葉變換僅適合分析近似平穩信號或分段平穩信號。為了能有效地分析非平穩信號，從信號中提取特征信息，在時、頻兩域均有良好局域化分析能力的小波變換應運而生。目前，小波變換在工程領域的應用不斷拓展，已被廣泛應用于信號檢測、信號處理等方面^[3-4]。

    小波變換可以用數字和模擬兩種方式實現。目前，用數字方式實現小波變換較為廣泛，但對模擬信號進行數模轉換會造成信號失真，數模轉換電路還會增加信號處理電路系統的體積與功耗，數據運算量大難以實現實時數據處理。在很多需要體積小、功耗低及實時處理的場合，例如在需對心電信號進行監測分析的人工心臟起搏器的應用中，數字方式實現小波變換難以滿足應用需要。這樣人們提出小波變換的模擬硬件電路實現，其具有不需要對信號進行數模轉換，處理電路體積小、功耗低、數據實時處理等特點。為了降低制造成本，當前多采用數/模混合電路設計集成電路，因而集成電路的模擬部分要求采用標準數字CMOS工藝制造，符合這一條件的首推開關電流技術。開關電流電路是基于電流模式的取樣數據系統，用它處理模擬信號，具有高頻特性好、電壓低、功耗低、動態范圍大等優點^[5-6]。將開關電流技術用于實現小波變換，可以完成高速低功耗集成芯片的設計，滿足小波變換實時處理的應用需求。基于此，文章對小波變換實現進行研究，提出采用開關電流電路實現小波變換，可廣泛應用于語音分析、圖像處理、信號檢測、故障診斷等領域。

1 小波變換實現

    小波變換模擬實現方法可分為時域法和頻域法兩大類^[7-9]。根據小波變換定義：具有緊支集的平方可積函數Ψ(t)(Ψ(t)∈L²(R))為小波函數或小波基，信號f(t)是平方可積函數，則其在時域的小波變換定義為：

    選用不同小波基對信號進行小波變換分析，其結果有可能相差很大，在工程應用中應根據實際情況對小波基進行選取。小波基選取的好壞以小波變換的信號處理結果與理論值之間的誤差來判斷，誤差越小，選擇的小波基越適合用于小波變換。一般來說，應該從有效支撐區間大小、對稱性、正則性與被分析信號的相似性等方面考慮小波基的選擇^[1]。此外，若要獲取信號的相位信息需選用復小波。工程中常用的實小波主要有Daubechies小波，高斯類小波包括高斯一階導數小波、Marr小波、Morlet小波等，復小波常見的有Gabor小波、復Morlet小波等。

1.1 小波變換的時域實現

    根據式(1)所示小波變換的時域表達可見：若能構造一個能生成不同尺度a和位移τ下小波函數的小波函數發生器，其輸出與輸入信號相乘后積分即可實現信號的連續小波變換。這樣，時域法實現連續小波變換的基本單元電路有：小波函數發生器、乘法器和積分器，圖１所示為時域法實現連續小波變換的原理圖。

    由圖1可以看出，不同尺度與位移的小波由小波函數發生器產生，乘法器將輸入信號與小波函數相乘，運算結果輸入積分器進行積分運算后完成信號的小波變換。小波變換采用時域法實現，能在時域直接由電路綜合實現，但需要種類繁多的單元電路[7]，如時鐘電路、正弦信號發生器、高斯函數發生器、乘法器和積分器等，而且每一個單元電路的性能會對整個小波變換的實現產生較大的影響。因此，雖然時域法實現小波變換的原理較為直觀，但其實現過程較復雜、所需單元電路種類較多、結構復雜，導致系統設計難度較大，近年來所取得的研究成果較少，目前更多的研究已轉向小波變換的頻域法實現。

1.2 小波變換的頻域實現

    小波變換頻域表達式如下：

其中，“*”代表共軛，a為尺度因子，F(ω)、Ψ(ω)分別為信號與小波函數的頻域表達。根據式(2)所示頻域小波變換表達可見：在頻域中，信號的小波變換可等效為在不同尺度a下，具有頻率特性為Ψ(aω)且品質因數恒定的帶通濾波器對輸入信號進行濾波后的輸出結果。根據信號處理理論，信號與小波函數的卷積就是信號通過以該函數特性為沖激響應系統的輸出。這樣，只要構造沖激響應為不同尺度小波函數的濾波器組，則信號通過該濾波器組后的輸出就是信號的小波變換。綜上所述，小波變換實現轉化為構造沖激響應為尺度不同小波函數的濾波器組^[8]，這樣可將小波變換從時域變換到頻域實現。此外，在構造不同尺度與位移的小波濾波器時，要保證中心頻率與頻寬(帶寬)之比也即品質因數Q與尺度a值無關。圖2所示為小波變換的頻域法實現原理圖。

    圖2濾波器組中的每路濾波器的沖激響應均為該尺度下的小波函數。小波變換尺度取a=2ⁿ(n∈Z)，這是因為小波變換具有冗余性，工程應用中尺度a不需連續變化，實際應用只需將尺度a離散化即可。小波變換的尺度越多，所需的濾波器數量也越多，這必然會提高小波變換實現電路的復雜程度，從而增大電路體積與功耗，不利于制成低功耗集成芯片。在實際工程應用中，往往在檢測信號時只需選擇較少個數的尺度來計算小波變換系數即可滿足實用要求，這樣將減少所需濾波器的數量，降低設計難度。

2 小波變換模擬濾波器設計

    由小波變換的頻域法實現原理可知，小波變換模擬濾波器實現的關鍵在于設計沖激響應為小波基的基本小波濾波器，小波濾波器組中其他尺度的小波濾波器可以通過對基本小波濾波器進行尺度調節而獲得。以高斯一階導數小波為例，研究沖激響應為小波函數的濾波器實現。高斯一階導數小波表達如式(3)所示：

且其拉普拉斯變換為穩定的有理多項式，即：

    圖3給出了高斯函數一階導數及其逼近，可以看出以式(6)為傳遞函數的濾波器沖激響應函數對高斯函數一階導數的逼近效果良好。

3 開關電流小波濾波器電路實現與仿真

    開關電流電路是基于電流模的模擬取樣數據信號處理電路，具有高頻特性好、功耗低、適于低電壓工作、動態范圍大等優點，由于是電流模式電路，它不需要運算放大器，從而消除了運算放大器帶來的限制和誤差；不需要線性浮置電容，從而與標準的CMOS工藝完全兼容，便于電路的大規模集成。開關電流技術自提出以來就備受關注，并得到迅速發展，其主要成果集中在濾波器的設計方面。開關電流濾波器特性取決于元件參數的比值及時鐘頻率，其帶寬隨時鐘頻率變化而變化，與此同時品質因數能保持恒定，非常適合小波濾波器組的實現^[7-9]：當構造出沖激響應為小波基的開關電流基本小波濾波器后(尺度a=1)，在開關電流濾波器允許的時鐘頻率范圍內，調節時鐘頻率可實現不同尺度的開關電流小波濾波器。這極大地簡化了小波濾波器組的設計難度，其設計主要變為對基本小波濾波器的設計。

    開關電流基本小波濾波器可采用電路級聯實現，該方式具有模塊性和簡易性等優點。以式(6)為傳遞函數的高斯一階導數小波變換濾波器是一個5階電路，可由1個開關電流一階節電路和2個二階節電路級聯實現。開關電流一階節電路、二階節電路分別如圖4、圖5所示。

    在進行電路仿真前應對式(6)所示的傳遞函數去歸一化。因為從s域到z域之間存在由非線性關系引起的頻率翹曲效應，應進行頻率預翹處理。若取樣頻率遠大于工作頻率，則頻率翹曲效應較小，可以不進行頻率預翹處理。

    電路仿真采用開關電流專用仿真軟件ASIZ(Analysis of Switched-current Filters in Z Transform)進行仿真^[10]，ASIZ可對開關電流電路仿真獲得瞬態響應、頻率響應、零極點和靈敏度。設定電路仿真時鐘頻率為10 kHz，用ASIZ仿真獲得基本尺度(a=2⁰)上的小波，高斯一階導數基本小波濾波器的沖激響應如圖6所示。

    為了產生更多尺度上的小波函數，在其他尺度上的開關電流小波濾波器可通過調節開關電流基本小波濾波器的時鐘頻率獲得。如將時鐘頻率分別設定為20 kHz和40 kHz，即可獲得尺度為a=2^-1、a=2^-2的小波濾波器。作為對比，圖7所示仿真結果是時鐘頻率分別為10 kHz、20 kHz和40 kHz，也即在尺度為a=2⁰、a=2^-1和a=2^-2上的小波濾波器的沖激響應，其電路仿真輸出波形分別是圖7中的曲線①、曲線②和曲線③。

    圖6和圖7所示的電路仿真結果充分證明用開關電流電路實現小波濾波器的效果非常理想，且只需調節開關電流基本小波濾波器的時鐘頻率，用同一濾波器電路即可實現其他尺度上的小波濾波器，極大地簡化了小波濾波器組的設計。

4 結論

    本文提出了基于開關電流電路的小波變換模擬實現。根據小波變換的定義，研究了在時域、頻域的小波變換實現方法，給出了工程應用中小波基選取的原則，對頻域實現小波變換進行小波函數逼近，獲得了小波變換模擬濾波器所需的傳遞函數。采用開關電流電路實現基本小波濾波器，通過調節時鐘頻率獲得小波濾波器組所需的其他尺度的小波濾波器，簡化了小波濾波器組的設計與實現。本文提出方法的有效性得到了仿真結果的驗證，其對小波變換在工程中的應用發展具有促進作用。

參考文獻

[1] MALLAT S.A wavelet tour of signal processing(third edition：the sparse way)[M].New York：Academic Press，2008.

[2] 李宏民，何怡剛，郭杰榮，等.用平衡式對數域積分器實現連續小波變換[J].湖南大學學報(自然科學版)，2007，34(6)：24-27.

[3] 范玉慶，王小華，曹志鋒，等.小波變換與概率神經網絡的心電圖分類[J].電子技術應用，2013，39(3)：136-137.

[4] 李立言，趙民建，鐘杰.一種基于小波降噪的GNSS軌跡平滑算法[J].電子技術應用，2012，38(10)：118-121.

[5] TOUMAZOU C，HUGHES J B，BATTERSBY N C.開關電流—數字工藝的模擬技術[M].姚玉潔，劉激揚，劉素馨，等，譯.北京：高等教育出版社，1997.

[6] 王友仁，祝嗚濤，任晉華，等.面向多功能模擬信號處理的開關電流型可重構模擬電路研究[J].電子學報，2011，39(5)：1047-1052.

[7] 胡沁春，黃立宏，何怡剛，等.M orlet小波變換的開關電流模擬實現[J].湖南大學學報(自然科學版)，2009，36(2)：58-61.

[8] 胡沁春，何怡剛，何靜.高斯類小波變換的開關電流頻域法實現[J].電子技術應用，2014，40(1)：44-46.

[9] 李目，何怡剛.基于開關電流雙線性積分器的IFLF小波濾波器設計[J].電路與系統學報，2013，18(2)：191-195.

[10] DE QUEIROZ A C M，PINHEIRO P R M，CALOBA L P.Nodal analysis of switched-current filters[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems II：Analog and Digital Signal Processing，1993，40(1)：10-18.

作者信息:

胡沁春1，霍  平2，尤小泉1，張  松1，郭麗芳1，譚化勇1

（1.成都工業學院 網絡與通信工程學院，四川 成都611730；2.成都工業學院 電氣工程學院，四川 成都611730