0 引言

　　傳統(tǒng)信號獲取和處理過程主要采用奈奎斯特采樣定律實(shí)現(xiàn)，而奈奎斯特采樣定律要求采樣頻率不得低于模擬信號頻譜中最高頻率的兩倍，這使得高頻信號采集實(shí)現(xiàn)受到極大限制。隨著信息技術(shù)快速發(fā)展，信號帶寬急劇增加，工業(yè)進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代，因此對信號處理能力和硬件設(shè)備要求也越來越高，給龐大數(shù)據(jù)處理帶來了挑戰(zhàn)[1]。

　　壓縮感知理論[2]具有數(shù)據(jù)采集與壓縮同時(shí)進(jìn)行處理的優(yōu)點(diǎn)，用較少的數(shù)據(jù)就可以準(zhǔn)確地恢復(fù)原始信號，從而使得受制于奈奎斯特采樣定理的采樣頻率能夠掙脫束縛，在較低的采樣頻率下也能夠?qū)崿F(xiàn)。壓縮感知理論包括三方面內(nèi)容：信號稀疏表示、測量矩陣的構(gòu)造、信號重構(gòu)算法設(shè)計(jì)。信號重構(gòu)算法設(shè)計(jì)是壓縮感知理論研究關(guān)鍵的優(yōu)化算法和基于貪婪迭代的匹配追蹤算法。以正交匹配追蹤算[4](Orthogonal Matching Pursuit，OMP)為代表的貪婪類及其改進(jìn)算法[5-6]相對于其他方法具有信號重建速度快、運(yùn)算量小等優(yōu)點(diǎn)。

　　目前，壓縮感知信號重構(gòu)硬件設(shè)計(jì)還處于初步階段，仍有許多問題值得探究，學(xué)者們在這方面做了一系列工作。文獻(xiàn)[7]對壓縮感知信號重構(gòu)算法進(jìn)行超大規(guī)模集成電路(Very Large Scale Integration，VLSI)設(shè)計(jì)。按照特定順序?qū)MP算法硬件設(shè)計(jì)執(zhí)行資源復(fù)用技術(shù)，提高了資源利用率，運(yùn)行速率更快[8]。文獻(xiàn)[9]闡述了基于FPGA的LU分解方法，能夠在計(jì)算機(jī)平臺上得到很好的加速性能，然而，在LU分解過程中存在大量矩陣乘除法運(yùn)算，需要占用FPGA大量硬件資源，導(dǎo)致運(yùn)算延遲。本文在矩陣分解部分采用修正Cholesky分解方法，回避了開方運(yùn)算，減少了乘法運(yùn)算次數(shù)，使運(yùn)算速度更快。

1 正交匹配追蹤算法

　　在壓縮感知采樣過程中，原始信號x∈RN稀疏度為K(K<<N)，設(shè)計(jì)一個(gè)M×N(M<<N)的隨機(jī)測量矩陣，將隨機(jī)測量矩陣中的列向量fl(l=1，2，…，n)稱為原子。根據(jù)壓縮感知理論，將稀疏信號在隨機(jī)測量矩陣中進(jìn)行投影，得到一個(gè)比原始信號長度小很多的M×l觀測向量y∈RN。匹配追蹤算法的核心思想是在第N次迭代中從隨機(jī)測量矩陣?椎中選擇與當(dāng)前觀測信號余量r(初始化為觀測信號y)最匹配的原子。將選出的原子增加至候選子集?祝中形成新的候選子集。根據(jù)候選子集，計(jì)算新的估計(jì)信號和新的觀測信號余量r，在下一次迭代中，繼續(xù)選擇與觀測信號余量最匹配的原子形成新的候選子集，用以計(jì)算r直至迭代結(jié)束。

2 優(yōu)化正交匹配追蹤算法設(shè)計(jì)

　　2.1 優(yōu)化正交匹配追蹤算法原子選擇準(zhǔn)則

　　利用參考文獻(xiàn)[6] 結(jié)論，得出測量值y在Vn+1上的正交投影式：

　　在式(3)基礎(chǔ)上得出y在Vn+1上的正交投影系數(shù)為（其中K=1，2，…，n）：

　　經(jīng)過第n+1次迭代后，||rn+1||2=||y||2-〈Py，y〉測量值y固定不變，要使觀測信號余量r最小，等價(jià)于〈Py，y〉最大化，由式(1)~式(4)可得：

　　2.2 優(yōu)化正交匹配追蹤算法計(jì)算步驟

　　分析了優(yōu)化正交匹配追蹤算法原子選擇準(zhǔn)則后，優(yōu)化后的OMP算法的重構(gòu)算法計(jì)算步驟如下：

　　步驟1：初始化=0，r0=0，n=1。

　　步驟2：選擇當(dāng)前觀測信號余量rn-1最匹配的原子索引n=argmaxl=1，2，…，N Cl。

　　步驟3；更新候選子集?祝n=?祝n-1∪?姿n，記錄傳感矩陣中的重構(gòu)原子集合n=[n-1，f]。

　　步驟4：利用索引集中現(xiàn)有的原子逼近原始信號：n=argminy-n。

　　步驟5：更新殘差：。

　　步驟6：n=n+1，如果n<k，則返回到步驟2，直到得到最后的近似信號，否則停止迭代。

　　2.3 優(yōu)化正交匹配追蹤算法硬件結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

　　優(yōu)化OMP算法可以分為4個(gè)模塊，第1個(gè)模塊對應(yīng)重構(gòu)算法計(jì)算步驟2，經(jīng)過原子選擇，利用式(1)~式(5)求出殘差最匹配原子。

　　第2個(gè)模塊對應(yīng)重構(gòu)算法計(jì)算步驟3，通過更新候選子集?祝，生成增廣矩陣n。

　　第3個(gè)模塊對應(yīng)重構(gòu)算法計(jì)算步驟4，求解l0范數(shù)最小模型問題，解決最小二乘法問題，得到原始信號的估計(jì)值。求解增廣矩陣逆的方法來得出原始估計(jì)值。然而，矩陣是非方形矩陣，對于求非方形矩陣一般是使用偽逆(Moore-Penrose)的方法求解，矩陣偽逆可以表示為：

　　式(7)中，令G=T×，以上問題就直接轉(zhuǎn)換成求解G逆。G∈Rt×t是一個(gè)對稱正定矩，如直接進(jìn)行求解，在FPGA上不易實(shí)現(xiàn)，可以先對矩陣G進(jìn)行矩陣分解，再求逆。

　　矩陣分解有QR分解[10]、奇異值分解、LU分解、Cholesky分解[11]。QR分解和奇異值分解計(jì)算過程復(fù)雜，不易于FPGA的實(shí)現(xiàn)，LU分解在分解過程中會有大量的矩陣乘法和除法的計(jì)算操作，它一方面占用FPGA硬件資源，另一方面影響計(jì)算效率。雖然，在Cholesky分解計(jì)算中會產(chǎn)生開方操作的延時(shí)以及除法計(jì)算，但是復(fù)雜度相對于LU分解較少。針對Cholesky分解在計(jì)算中產(chǎn)生開方操作的延時(shí)問題，利用Cholesky分解，回避了開方運(yùn)算帶來的延時(shí)問題。具體修正Cholesky分解計(jì)算公式如下：

　　第4個(gè)模塊對應(yīng)重構(gòu)算法計(jì)算步驟5，計(jì)算殘差r，為下次迭代做準(zhǔn)備。3 基于FPGA實(shí)現(xiàn)的優(yōu)化OMP算法

　　硬件電路主要由四個(gè)模塊組成，分為兩大部分。具體電路圖如圖1所示。

　　第一部分給定兩個(gè)輸入量，分別是測量矩陣觀測矢量y，由輸入的觀測矢量y∈RN對殘差r進(jìn)行初始化。每個(gè)矩陣的列向量長為N，設(shè)計(jì)N個(gè)乘法器和N-1個(gè)加法器并行處理，它們可以在一個(gè)時(shí)鐘周期內(nèi)完成工作，測量矩陣?椎和殘差r同時(shí)也在一個(gè)時(shí)鐘內(nèi)完成。觀測矢量y用多個(gè)寄存器組進(jìn)行存儲，用多個(gè)RAM存儲測量矩陣值。利用式(1)~式(6)優(yōu)化后的原子選擇準(zhǔn)則求出原子索引?姿n，通過步驟3更新候選子集得到重構(gòu)矩陣，得出矩陣G。

　　第二部分對矩陣G求逆過程，硬件電路由Cholesky分解硬件電路、矩陣L求逆硬件電路和相乘運(yùn)算硬件電路組成。利用修正的Cholesky分解矩陣G，分解矩陣G分別要求出下三角矩陣L和對角矩陣D。然后進(jìn)行相乘，使得G=L×D×LT，從而回避平方操作。其中矩陣L和矩陣D之間是相互依存的，其元素必須按照特定的順序進(jìn)行計(jì)算。最后對G-1求解，G-1=(L-1)T×D-1×L-1，可以先令O=(L-1)T×D-1，對O進(jìn)行計(jì)算，然后可方便計(jì)算G-1=O×L-1。

4 仿真驗(yàn)證

　　通過一維信號對優(yōu)化OMP算法和OMP算法進(jìn)行重建實(shí)驗(yàn)比較。假設(shè)稀疏信號x的長度N=256，稀疏系數(shù)k=6，OMP、優(yōu)化OMP算法采用高斯隨機(jī)測量矩陣RM×N，分別記錄優(yōu)化OMP算法和OMP算法的重建成功率，將其結(jié)果繪制成圖，如圖2所示。

　　在同樣處理器工作下，通過二維圖像信號實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證優(yōu)化OMP算法的有效性。實(shí)驗(yàn)中選取尺度為256像素×256像素的經(jīng)典實(shí)驗(yàn)圖像Lena，采用高斯隨機(jī)矩陣作為測量矩陣。OMP算法與本文優(yōu)化OMP算法進(jìn)行重構(gòu)實(shí)驗(yàn)對比，重構(gòu)結(jié)果如圖3所示。

　　當(dāng)采樣率M/N=50%，采用Lena圖像測試時(shí)，優(yōu)化OMP算法、OMP算法信噪比分別為34.53 dB、33.72 dB。因此，優(yōu)化后的OMP算法比OMP算法重建精度要高。

　　通過FPGA仿真軟件Modelsim對優(yōu)化OMP算法硬件電路進(jìn)行了仿真，如圖4所示。

5 結(jié)論

　　本文通過優(yōu)化原子選擇準(zhǔn)則，使得OMP重建本文算法能夠在很短的時(shí)間內(nèi)選擇最優(yōu)原子，縮短了信號重構(gòu)時(shí)間，提高了算法重建速率。同時(shí)，本文優(yōu)化設(shè)計(jì)了FPGA硬件結(jié)構(gòu)，較好地平衡了占用資源和運(yùn)算時(shí)間。本設(shè)計(jì)采用硬件描述語言Verilog HDL對優(yōu)化OMP重建算法實(shí)現(xiàn)，運(yùn)用Quartus軟件進(jìn)行算法綜合，進(jìn)行了RTL級描述，通過Matlab和Modelsim進(jìn)行聯(lián)合仿真，得到了較好的重建效果。結(jié)果表明，優(yōu)化后的OMP算法能夠以較少時(shí)間恢復(fù)原始信號。

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