段培培，徐志京
（上海海事大學 信息工程學院，上海 201306）
摘要：傳統聲納成像系統所要采集的數據量巨大，給硬件設備以及數據的存儲和傳輸帶來很大的壓力。壓縮感知作為一種全新的采樣理論，可以從很少的采樣數據中以很大的概率重建原始信號。將壓縮感知用于聲納成像，減少數據采集傳輸量。考慮到水下環境的復雜性，提出了A*OMP作為聲納成像算法，該算法使用A*搜索方法尋找最優原子，得到全局最優路徑。實驗結果表明，相比于傳統OMP算法，所提算法有效地提高了聲納成像的質量。
關鍵詞：壓縮感知；聲納成像；A*算法；正交匹配追蹤
0引言
聲納是利用聲波在水下特有的傳播特性，完成水下探測和定位的重要工具。由于聲納成像可以直觀反映出被測目標的信息，因而受到研究人員的青睞。但是，為了獲得高分辨率的聲納圖像，按照傳統Nyquist采樣定理往往會產生海量數據，給硬件設備及數據的存儲和傳輸帶來巨大的壓力。
壓縮感知(Compressive Sensing, CS)［1］作為一種全新的信號采集理論，通過挖掘信號的稀疏性，利用少量非相關的線性測量，結合重構算法，可以以少量的采集數據重構原始數據。對于聲納成像而言，在整個成像平面上，目標圖像通常只占很小的一部分，即目標強散射點數要遠小于實際采樣數，滿足CS理論中對信號稀疏性的要求［2］。
本文基于壓縮感知理論及成像分析，闡明了CS對于聲納成像的可適用性。結合聲納數據的格式特點，分析了成像的具體流程?？紤]到水下環境的特殊性，提出使用A*OMP（A*正交匹配追蹤）算法代替傳統算法用于聲納圖像重構，并通過實驗證明了此算法對提高成像質量的有效性，最后總結了所提方法的合理性以及需要進一步研究的問題。
1基于壓縮感知的聲納成像及分析
1.1壓縮感知原理
壓縮感知是由DONOHO D L等人提出的一種新穎信息獲取方法，打破了Nyquist采樣定理的限制。該理論表明：當信號具有稀疏性時，可以構造一個觀測矩陣將原始信號投影到低維空間，通過采集少量的投影值就可以完成信號的近似重構。
考慮一個長度為N的一維離散信號x，其稀疏度為K(KN)，假設{ψi}是RN的一組基向量，信號x可表示成:
根據CS理論，可以通過構造一個M×N的測量矩陣Φ，對x進行M(K<MN)次觀測，得到降維后的測量信號y：
y=Φx=ΦΨα=Θα(2)
式中Θ稱為感知矩陣。CS理論要求測量矩陣Φ的建立應當使Θ=ΦΨ滿足RIP(Restricted Isometry Property)條件［3］，并且測量次數M應滿足：
M≥cμ2(Φ,Ψ)KlogN≤N(3)
式中，c>0為一固定常數，μ(Φ,Ψ)表示Φ和Ψ之間的相關性。此時，可以利用最小l0范數將式(2)轉化為約束最優化問題:
minα0s.t.y=Θα(4)
由于最小l0范數的稀疏重構問題已被證明是NP難解的，因此常將l0范數松弛為l1范數。在實際應用中，噪聲往往難以避免，因此將上式轉化成一個允許一定誤差存在的形式:
minα1s.t.y－Θα2≤ε(5)
式中ε為誤差量。對于此式可以通過l1范數最小法來求解，也有學者提出了效率較高的貪婪算法，如基追蹤算法(BP) 、正交匹配追蹤算法(OMP)等。
1.2CS成像分析
在CS成像模型中［4］，假設發射信號是長度為N的向量，其中每個元素可以表示為
式中n=1,2,…,N。將稀疏目標建模在N×N的距離多普勒平面上，兩個維度分別表示延遲和多普勒頻移。那么對于一個目標物體，就存在N2個不同的回波信號，每個信號經過周期性擴展和調整后都可以轉化成長度為N的向量。N2個回波信號累積形成N×N2矩陣A。定義相干性μ(A)為
式中ai和aj為矩陣A的歸一化列，〈·,·〉表示內積。通過參考文獻［5］可知μ(A)的值很小，滿足CS理論中矩陣非相干的要求。同時，若稀疏目標數量k滿足k<12(1+1/μ(A))。通過給定觀測向量y和壓縮矩陣A，運用CS方法就能將稀疏向量x重構出來，即通過CS實現了稀疏目標的成像。
1.3CS聲納成像
本文采用StarFish 450F拖曳型側掃聲納對某水域進行測量，并使用Scanline軟件將測量的數據導出格式為CSV(Comma Separated Values)的數值數據文件。該文件以純文本形式存儲數據，每條記錄被分隔符分隔為字段，且可以轉化為XLS的格式［6］。通過MATLAB編程實現對CSV數據的讀取，經過CS稀疏重構后，即可完成對聲納目標的CS成像。
基于以上的分析，可將CS聲納成像步驟歸納為圖1所示。在重構算法上，本文提出多路徑搜索的A*OMP算法代替傳統OMP算法，提高水下成像的質量。A*OMP算法將在下節作詳細介紹。
2A*OMP算法及分析
2.1A*算法
A*算法是一種典型的啟發式搜索算法，將其與OMP算法想結合［7］，使用字典原子所代表的節點迭代構建搜索樹。A*算法使用估計函數g(PK)評估每條路徑的代價，但對于不同長度的路徑來說，無法比較它們的大小。為此引入輔助函數d()，對于一個長度為l的路徑Pl，定義輔助函數為:
d(Pl)≥g(Pl)－g(Pl∪ZK－l),d(PK)=0(8)
式中，ZK－l為其余K－l個節點產生的序列。由此定義代價函數為
F(Pl)=g(Pl)－d(Pl)(9)
考慮一個完整路徑PK和一個局部路徑Pl(l<K)，結合式(8)和式(9)，如果F(PK)≤F(Pl)，可得
g(PK)≤g(Pl∪ZK－l),ZK－l(10)
這表明路徑PK優于Pl的所有可能擴展路徑。因此，使用代價函數F()選擇最優路徑是合理的。
2.2使用A*算法進行稀疏信號重構
A*OMP算法將A*與OMP相結合，把稀疏重構問題轉化為從動態更新的候選子集中選擇正確支撐K稀疏的信號x的問題。A*OMP算法的迭代過程主要有以下三個步驟：
(1)初始化搜索樹：由于僅有KN個字典原子是與y有關的，因此將初始子集限制為I(IK)個，每個子集包含一個原子，這些原子與y有最大的內積絕對值。
(2)擴展局部路徑：由于數量眾多的子集會產生大量搜索路徑，故采用3種修剪策略加以限制，分別為設置每條路徑的單次擴展數量B、設置搜索樹中最大路徑數量P以及對等效路徑的修剪。
(3)選擇最優路徑：理想情況下，輔助函數d()應當與殘差衰變的路徑一致，但實際中這是很難實現的。為此參考文獻［7］中提出了3種代價模型，通過比較路徑代價函數的大小，就可以選擇出最優路徑。
A*OMP算法的流程如下：
定義：
P：最大路徑個數
I：初始路徑個數
B：每次迭代中的節點擴展個數
Li：第i條路徑的長度
Ci：選擇第i條路徑的代價
Si={sli}：第i條路徑上的原子sli的矩陣
ci={cli}：第i條路徑上的原子sli對應的系數向量
初始化：
T←
for i←1 to I do%設置初始路徑長度為1
←argmax〈y,vn〉n,vn∈ΦT
T←T∪n
s1i←n,c1i←〈y,n〉
ri←y－c1is1i
Ci=F(Si),Li=1
end for
Ci=y2,Li=0,i=I+1,I+2,…,P
best_path←1
while Lbest_path≠K do
←best_path%替換搜索路徑
T←Sbest_path
for i←1 to B do%對每條擴展路徑進行修剪
←argmax〈rbest_path,vn〉n,vn∈ΦT
T←T∪v
←Sbest_path∪v%候選路徑
←argminy－α2 %正交投影
←F()%候選路徑的代價
if(<F(S))&%樹尺寸修剪
(≠Sj,j=1,2,…,P) then %等效路徑修剪
S←,c←,C←
L←Lbest_path+1
r←y－Sc
←argmaxCii∈1,2,…，P
end if
end for
best_path←argminCii∈1,2,…,P%選擇最優路徑
end while
return Sbest_path,cbest_path
3實驗結果及分析
實驗采用1.3節中所述CSV數據段，聲納參數設置如下：頻率450 kHz，帶寬40 kHz，掃描幅度60 m，聲速1 470 m/s。取左舷數據進行處理，其中測量回波數及每個方位向的數據長度均為256，采樣點數設置為100。A*OMP算法參數設置為B=2，I=3，P=200，實驗所得結果如圖2所示。
從圖2可以看出，CS方法在降低采樣率的同時，也確保了成像的質量。相比傳統OMP算法，基于A*OMP的聲納成像方法保留了河底的絕大部分輪廓信息，成像質量更佳。為了更加直觀地表述兩種算法的成像質量，在不同降采樣率的基礎上，繪制成像成功率變化曲線如圖3所示。
由圖3可以看出，隨著降采樣率的增加，兩種算法的成像成功率都是先上升直至趨于1，但A*OMP上升趨勢明顯要高于OMP。對兩種算法的運行時間和峰值信噪比進行記錄，具體結果如表2所示。
實驗結果表明，在時間上，由于A*OMP算法執行的是多路徑搜索方式，因此要比OMP算法的運行時間長。然而從峰值信噪比的對比上可以看出，A*OMP算法有著比OMP算法更高的精度。隨著計算機性能的發展，時間上的差距將會被進一步縮小，A*OMP算法的優勢也會進一步凸顯。
4結論
本文將壓縮感知技術用于聲納成像中，從理論上闡明了CS對于聲納成像的可適用性，并分析了具體的成像流程。在重構算法上，以A*OMP取代傳統的OMP算法，采用多路徑的迭代搜索方式尋找全局最優解。實驗結果表明所提算法與傳統OMP算法相比較，成像質量與精度有了很大的改善，但在運算效率與成像質量的平衡上面有待進一步研究，在提高運算效率的同時提高成像的精度。
參考文獻
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