0 引言

　　隨著通信業(yè)務(wù)的高速發(fā)展，無線電頻譜的低端頻率已趨于飽和，頻譜資源匾乏的問題日益嚴(yán)重[1]。為了解決頻譜利用率的問題，Joseph Mitola于1999年在軟件無線電的基礎(chǔ)上提出了認(rèn)知無線電的概念[2]。要實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)頻譜接入，首先要解決的問題就是如何檢測頻譜空穴，也就是頻譜感知技術(shù)。傳統(tǒng)頻譜感知的解決方案主要有數(shù)字和模擬兩類，常見的模擬方式類似實(shí)驗(yàn)室的掃描機(jī)制，需要可調(diào)的線路和獨(dú)立的認(rèn)知無線電接收設(shè)備。數(shù)字的形式要求采樣率滿足奈奎斯特采樣定理，當(dāng)工作在寬帶環(huán)境下，采樣率可能會(huì)相當(dāng)大。所以寬帶信號頻譜感知的難點(diǎn)主要在于現(xiàn)有硬件設(shè)備的模數(shù)轉(zhuǎn)換和信號處理能力尚無法滿足對寬帶信號需求的高速增長。因此寬帶信號頻譜感知的研究將主要集中在如何利用寬帶信號的稀疏特性通過較低的采樣率獲得寬帶信號的部分信息進(jìn)行頻譜感知[3]。認(rèn)知無線電的廣泛應(yīng)用要建立在創(chuàng)新的頻譜感知技術(shù)上。

　　本文提出一種基于稀疏傅里葉變換（Sparse Fourier Transform，SFT）的頻譜感知方法，尤其適用于寬帶認(rèn)知無線電。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)，一是模擬前端是固定的，不涉及掃描硬件；二是模數(shù)轉(zhuǎn)換器和數(shù)字信號處理采樣率都低于奈奎斯特率。稀疏快速傅里葉變換的算法最早于2012年由MIT的研究人員提出[4]。利用稀疏傅里葉變換的算法，數(shù)據(jù)流的處理速度會(huì)比快速傅里葉變換還要快10～100倍，用在頻譜感知這樣海量大數(shù)據(jù)處理方面更能凸顯其優(yōu)勢。

1 傳統(tǒng)頻譜感知模型

　　最初對于寬帶信號檢測的研究都集中在窄帶頻譜檢測方面，每個(gè)節(jié)點(diǎn)在一個(gè)檢測周期內(nèi)只能檢測一個(gè)窄帶信道，在完成此次檢測任務(wù)后才能進(jìn)入下一個(gè)信道的檢測。這樣對于單個(gè)認(rèn)知無線電用戶來說，不但需要有精確的檢測性能，而且需要很長的檢測時(shí)間才能完成寬帶范圍內(nèi)的頻譜空閑檢測。2008年11月的IEEE Signal Processing Magazine綜述了現(xiàn)有的認(rèn)知無線電技術(shù)[5]。根據(jù)文獻(xiàn)[6]將當(dāng)前的頻譜感知方法總結(jié)在表1中。

　　單節(jié)點(diǎn)的窄帶頻譜檢測由于使用條件的不同，在不同的環(huán)境下檢測性能會(huì)有比較大的變化。為了適應(yīng)無線移動(dòng)通信寬帶化的發(fā)展趨勢，又提出了多節(jié)點(diǎn)協(xié)同寬頻帶檢測機(jī)制。每個(gè)節(jié)點(diǎn)由多條射頻電路組成，需要多個(gè)帶通濾波器，每條窄帶鏈路采用簡單的能量檢測算法。但是節(jié)點(diǎn)的硬件電路一旦固定，各個(gè)濾波器的范圍就隨之固定。因此這種方法只適用于各個(gè)子頻帶預(yù)先知道并且固定的情況，即需要知道足夠的先驗(yàn)信息，對于子信道分配的先驗(yàn)信息未知的情況則無能為力。

2 基于稀疏傅里葉變換的頻譜感知模型

　　傳統(tǒng)的方法需要的采樣率過高，無法真正滿足動(dòng)態(tài)檢測寬帶頻譜的要求。本文的頻譜感知模型如圖1所示。利用SFT的思想采用低于傳統(tǒng)奈奎斯特采樣率的方式直接對寬帶信號進(jìn)行低速采樣，并重建原寬帶信號頻譜。

　　介紹采樣算法之前，首先介紹一下傅里葉變換的基本特性：信號時(shí)域的二次抽樣引起頻域的混疊，圖2證明了這種特性。對圖2左上圖時(shí)域的二次抽樣產(chǎn)生了左下圖。在頻域，二次抽樣后信號的快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）是原信號FFT的混疊，也就是說樣點(diǎn)6和1疊加，7和2疊加，以此類推。稀疏傅里葉變換的算法主要分為混疊濾波、估計(jì)和沖突檢測三步。下面重點(diǎn)解釋這三步。

　　2.1 混疊濾波

　　為了降低采樣率，以抽樣因子p對時(shí)域進(jìn)行二次抽樣，通過時(shí)域的抽樣達(dá)到頻域混疊的效果。因?yàn)轭l域是稀疏的，所以混疊后只有少數(shù)頻率分量上的值非零。x是長為N的離散時(shí)間信號，X是它的頻域表示。x′是x抽樣后的信號，其中x=xi×N/B，B可以整除N。那么X′就是抽樣后的x′的FFT：

　　因此，混疊是抽樣后進(jìn)行FFT的一個(gè)結(jié)果，頻率等間隔B被分配到同一個(gè)頻率單元上，例如f將會(huì)分到桶i=f mod B。另外，每一個(gè)頻率單元的值是所有映射到其中的頻率值的總和。

    2.2 頻率估計(jì)

　　如果混疊濾波后一個(gè)非零頻率和多個(gè)零值頻率映射到同一個(gè)頻率單元，則認(rèn)為不發(fā)生沖突，此時(shí)無法確定非零頻率的具體位置f。為了計(jì)算f，利用FFT的相位旋轉(zhuǎn)屬性，即時(shí)域的移位會(huì)轉(zhuǎn)換為頻域的相位旋轉(zhuǎn)。在輸入信號移位個(gè)采樣點(diǎn)后重復(fù)整個(gè)混疊的過程。由于時(shí)域的延時(shí)轉(zhuǎn)換為頻域的相位旋轉(zhuǎn)。相位改變?yōu)椋?/p>

　　因此，利用相位差即可求出非零頻率的位置f，這個(gè)過程稱為估計(jì)。對于所有不發(fā)生沖突的頻率單元，估計(jì)出原頻譜中非零頻率的位置和頻率值，也就是f和對應(yīng)的Xf。

　　2.3 沖突解決和檢測

　　如果混疊的過程中兩個(gè)及以上的非零頻率映射到同一個(gè)頻率單元?jiǎng)t稱為沖突。同樣利用FFT的相位旋轉(zhuǎn)屬性可以檢測是否有沖突發(fā)生。如果不發(fā)生沖突，則一個(gè)頻率單元中映射進(jìn)來的頻率僅僅有一個(gè)非零頻率f，在兩次延時(shí)不同的混疊過程中的頻率單元的值通過比較延時(shí)前和延時(shí)后的幅值是否相同，可以判斷是否發(fā)生沖突。

　　檢測出沖突后，可以對互質(zhì)采樣的混疊濾波進(jìn)行解決。證明只要采用互質(zhì)的采樣間隔隨機(jī)化混疊時(shí)的頻率位置，就可以防止同一個(gè)頻率對在兩次混疊中都發(fā)生沖突。然后在兩次混疊過程間迭代就可以找到所有的非零頻率。SFT的具體流程圖如圖3所示。

　　由于稀疏傅里葉變換要求應(yīng)用在頻譜占用率不超過10%的情況，當(dāng)頻譜占用率增加到大于10%后，不能再采用這種方法進(jìn)行頻譜的稀疏恢復(fù)。但是因?yàn)橐欢螘r(shí)間內(nèi)一個(gè)地區(qū)的頻譜占用情況不會(huì)經(jīng)常發(fā)生變化，可以認(rèn)為在當(dāng)前觀察的時(shí)間窗和下一時(shí)間窗內(nèi)頻譜的變化是稀疏的，利用這個(gè)頻譜變化的稀疏性進(jìn)行稀疏傅里葉變換。由于此時(shí)能量發(fā)生變化，不能再利用相位循環(huán)來找到變化的頻率位置，考慮在兩次混疊濾波后相減找到變化的頻率混疊后的位置，然后采用投票的方式判斷出最終狀態(tài)發(fā)生變化的頻率位置。將每次可能映射到其中的頻率位置做個(gè)投票，如果某頻率位置在兩次混疊后都獲得了投票，則認(rèn)為此頻率位置為恢復(fù)后的變化頻率位置。算法原理圖如圖4所示。

3 算法性能仿真

　　為了驗(yàn)證稀疏傅里葉變換用于寬帶頻譜感知的性能，利用MATLAB平臺進(jìn)行仿真分析。首先頻譜稀疏信號采用以下形式產(chǎn)生：

　　其中En、Bn、fn、n分別代表第n個(gè)頻帶的能量系數(shù)、帶寬、載波頻率和延遲時(shí)間。為了仿真實(shí)際采樣過程，用2倍奈奎斯特率的離散信號來表示連續(xù)信號，利用抽取的方法實(shí)現(xiàn)濾波后的采樣過程。采樣5 GHz的信號至少需要10 GHz的采樣率，而使用稀疏傅里葉變換需要的采樣率為420 MHz和500 MHz(抽樣因子為21和25，則可觀測帶寬為10.5 GHz)。圖5給出了該算法重構(gòu)前后信號的時(shí)域和頻域形式。如圖所示，時(shí)域和頻域的重構(gòu)結(jié)果均較好地再現(xiàn)了原信號的波形和頻譜，說明在信號頻譜相對稀疏的情況下，稀疏傅里葉變換可以較好地進(jìn)行頻譜檢測。

　　當(dāng)頻譜的占用增加到50%時(shí)，時(shí)間窗長度為10 s，假設(shè)狀態(tài)發(fā)生變化的頻率分量占總數(shù)的3%，利用改進(jìn)算法成功恢復(fù)出狀態(tài)發(fā)生變化的頻率位置如圖6所示。由于只關(guān)心頻譜是否被占用，而不關(guān)心具體的頻率幅度，所以認(rèn)為改進(jìn)的算法可以成功地找到變化的頻率位置。

4 算法性能評估

　　誤判率：占有頻率被SFT判斷為空閑的百分比。對于不同稀疏性的情況下，仿真得到誤判率和稀疏性的關(guān)系如圖7所示。可以看出在稀疏度小于10%時(shí)，誤判率不超過0.5%，當(dāng)稀疏度高達(dá)25%時(shí)，誤判率也不超過5%。

　　運(yùn)算復(fù)雜度：FFT計(jì)算N點(diǎn)DFT時(shí)，其運(yùn)算復(fù)雜度為O(N log2 N)。而SFT只需要4次混疊的過程，即其運(yùn)算復(fù)雜度僅為O(2B1log2 B1)+O(2B2log2 B2)。假設(shè)B1>B2，則復(fù)雜度為O(B1log2 B1)。當(dāng)N比較大時(shí)，SFT的效率提高更加明顯。

　　采樣率：直接對一個(gè)5 GHz信道進(jìn)行寬帶信號頻譜檢測需要10 GHz的采樣率，而使用SFT可以使用500 MHz和420 MHz的采樣率，采樣率大約降低到原來的20%，硬件上易于實(shí)現(xiàn)，且效率更高。

5 結(jié)論

　　本文通過分析傳統(tǒng)頻譜感知方式的不足，提出了一種基于稀疏快速傅里葉變換的寬帶頻譜感知方法。該方法能夠以若干低速ADC完成對寬帶頻譜信號的采樣，解決了寬帶頻譜感知中采樣速率過高的問題，為亞奈奎斯特采樣的寬帶頻譜感知提供了一種新的思路。

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