0 引 言

　　任何一個系統都不可能做到完全沒有噪聲，甚至有相當多的時候所需要的有用信號被強背景噪聲淹沒。因此如何從信噪比為負十幾dB甚至幾十個dB的環境中有效地提取出有用信號顯得越來越重要。對于這種微弱信號的檢測問題的研究，目前已經取得一些進展，比如隨機共振檢測理論、分段采樣信號的相位關聯檢測技術以及混沌理論微弱信號檢測原理等。雖然各有所長，但在實際運用過程中還存在這樣那樣的缺陷，不能滿足需要。

　　這里介紹了最近發展較快的小波分析理論在信號去噪方面的應用，提出了適合于極低信噪比條件下的小波變換去噪法，通過構造具有自適應性的閾值函數以及閾值處理方式的優化設計，可以提取微弱的有用信號特征信息，實現信號恢復。

　　1 小波變換檢測微弱信號原理

　　小波分析是一種時頻域分析，具有多分辨率特性。因此在時頻域都具有表征信號局部特征的能力，是一種窗口大小不變但其形狀可改變時頻局部化分析方法。在高頻部分使用逐漸尖銳的時間分辨率和較低的頻率分辨率，以便移近觀察信號的快變部分；在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，以便移遠觀察信號的慢變部分(整體變化趨勢)，小波這種信號分析表示特征對分析非平穩信號是非常有效的，很適合探測正常信號中夾帶的瞬態反常現象并且展示其成分。這種時頻面上的分析給信號處理帶來前所未有的更為深入的發展。

　　運用小波分析進行一維信號消噪處理是小波分析的重要應用之一，下面將其消噪的基本原理做簡要的說明。

　　一個含噪聲的一維信號的模型可以表示成如下的形式：

　　其中：f(i)為真實信號；e(i)為噪聲；s(i)為含噪聲的信號。在實際工程中，有用信號通常表現為低頻部分或是一些比較平穩的信號，而噪聲信號則通常表現為高頻的信號。所以消噪過程可按如下方法進行處理：首先對信號進行小波分解，則噪聲部分通常包含在各層的高頻分量中，因而可以以門限閾值等形式對小波系數進行處理，然后對信號進行重構即可達到消噪的目的。

　　根據上文的分析可以知道，一維信號的消噪過程可分為2個步驟進行：

　　(1)一維信號的小波分解。選擇一個小波并確定一個小波分解的層次N，然后對信號進行N層小波分解；

　　(2)小波分解高頻系數的閾值量化。從第1層到第N層的每一層高頻系數選擇1個閾值進行軟閾值量化處理；

　　(3)一維小波的重構。根據小波分解的第N層的低頻系數和經過量化處理后的第1層到第N層的高頻系數，進行一維信號的小波重構。

　　在這三個步驟中，最關鍵的就是如何選取閾值和如何進行閾值的量化，從某種程度上說，它關系到信號的質量。這里針對傳統信號的閾值函數選取以及分解系數處理方式的不足之處，結合工程實際進行了改善。

　　2 小波閾值函數的構建

　　小波閾值去噪的理論依據為：屬于能量有限空間的信號在小波域內其能量主要集中在有限的幾個系數中，而噪聲的能量卻分布在整個小波域中，因此經過小波分解后信號的系數要大于噪聲的系數，于是可以找到一個合適的數λ作為閾值(門限)，當分解系數小于該閾值時，認為這時的分解系數主要是由噪聲引起的，并置為零，予以舍棄；當分解系數大于該閾值時，認為這時的分解系數主要是由信號引起的，則把這一部分分解系數的直直接保留下來(硬閾值方法)或者按某一固定量向零縮(軟閾值方法)，然后由新的小波系數進行小波重構到去噪后的信號。

　　小波閾值的選取是一個非常重要的步驟，其直接影響噪聲消除的效果。很明顯，如果閾值過高，則會將系數分量中的信號成分當作噪聲分量去除，造成信號失真；反之，若閾值選取過低，又不能充分去除噪聲，不能達到很好的效果。此外，不同的閾值構建方法其適用場合也不盡相同，必須圍繞信噪比和信號特點綜合考慮構建方式。

　　針對微弱信號的特點，即SNR<一1，此時噪聲的能量較大，由于信號的信噪比：

　　式中：σs為信號強度；σn為噪聲強度。由此可知，當信號強度減小或者噪聲強度增大時，信噪比均會減小。因此，當噪聲占主要地位時，若是只考慮噪聲強度是不全面的，例如當信號強度不變，增大噪聲，信噪比減小；若是只考慮噪聲強度則會使得閾值成線性上升，使得丟失的信息過多，對于信號參數的估計和信號的重構都是不利的。另一方面，如果信號是周期性連續信號，最好選擇同樣具有連續性的閾值函數。因此，考慮選取閾值為：

　　其中：j為小波變換尺度；N為采樣點個數；μ為調節因子；用以調節隨σs/σn變化，exp[μ(σs/σn)]變化的快慢。

　　3 閾值處理方式的優化

　　傳統的硬、軟閾值方法雖然在實際中得到了廣泛的應用，也取得了較好的效果，但這些方法本身還存在一些缺陷。在硬閾值處理過程中，得到的估計小波系數值連續性差，即由于分解系數在±λ處是不連續的，因此重構所得的信號可能會產生一些振蕩；而軟閾值方法中估計小波系數雖然整體連續性好，但是由于當小波系數較大時，分解系數之間總存在恒定的偏差，這將直接影響重構信號與真實信號的逼近程度，給重構信號帶來不可避免的誤差。

　　如果對噪聲用分解的系數用C(J，k)表示，其中j代表小波尺度，k代表時間，則可以得出如下結論：

　　(1)如果所分解的信號是一個平穩、零均值的白噪聲，則其小波分解系數是不相關的；

　　(2)如果所分解的信號是一個高斯噪聲，則其小波分解系數是獨立的，并且也是高斯分布的；

　　(3)如果所分析的信號是一個有色、平穩、零均值的高斯噪聲序列，則其小波分解系數也是高斯序列。對每一個分解尺度j，其系數是一個有色、平穩的序列。

　　用ω(j,k)表示對含噪信號進行小波分解后得到的小波系數，由于小波變換是一種線形變換，因此它由2部分組成：信號對應的小波系數和噪聲對應的小波系數。由于軟閾值方法估計出來的小波系數ω(j,k)的絕對值總比ω(j,k)要小λ而影響了重構精度，應設法減小此偏差。只要使ω(j,k)與由信號對應的小波系數之間的差值盡量小，則ω(j,k)更接近于信號對應的小波系數，重構精度就越高。構造函數：

　　可知，當a=O時上式等效為。Donoho硬閾值；當a一1時，上式等效為Donoho軟閾值；當a在0～1之間變化時，z一±cx3，有|f(x)一x|一>aλ。也就是說，隨著ω(j,k)模值的增大，ω(j,k)與ω(j,k)偏差的絕對值逐漸減小為αλ，大大減小了軟閾值方法中產生的恒定偏差，提高了重構精度，改善了去噪效果。可見，相對于硬、軟閾值函數，新閾值函數是一個更優、更靈活的選擇。只要在0和1之間適當的調整α的大小，就可以獲得更好的去噪效果。圖1是用．Matlab畫出的Donoho軟、硬閾值圖及新閾值函數圖(α=O．1)。

　　4 仿真試驗

　　為了說明所述小波消噪法的有效性和優越性，分別采用傳統的閾值函數和軟硬閾值處理的方法以及新閾值函數和新閾值處理方式的方法進行去噪試驗，試驗對象選擇信噪比為低于一10 dB的混有平穩加性高斯白噪聲信號，信號波形如圖2所示。信噪比為一13．777 6 dB。

　　圖3是用兩種小波方法處理含噪信號的消噪結果波形圖，表1是兩種消噪方法得到的信噪比。從圖3和表1中可以得到如下結論：

　　(1)傳統小波消噪法處理后的信號雖然去除了部分噪聲信號，信噪比也有所提高，但圖形離原始信號的本來面目相差很遠，從波形上還是無法確定有用信號的特征，可以說這樣的處理結果是無效的。產生這種結果的原因就是因為傳統的硬閾值小波消噪在處理噪聲信號時對閾值的選擇依賴性很強，在消噪過程中保留了強背景信號的某些特征，或者消弱了真實信號的完整性。閾值選擇的適合與否直接影響微弱信號的檢測效果，因此對于淹沒在強噪聲背景下的微弱信號而言，這種方法顯得束手無策。

　　(2)這里結合信號特征及低信噪比這一實際情況，采用了具有可調節的閾值函數，并對分解系數的處理方式進行了優化，從而大大改善了去噪效果。從圖3中可以看出雖然消噪后的信號與原始無噪信號還有較大差別，但很明顯可以知道信號的周期、幅值等特征，信噪比也達到15．530 3 dB，提高了約30 dB，基本上完成了微弱信號的檢測任務。

　　(3)表1中的信噪比是對信號消噪的量化表征。很明顯，這里所述的新方法具有最好的去噪效果。

　　5 結 語

　　這里提出了一種具有可調功能的閾值函數，充分考慮到了信噪比因素的影響，此外對分解系數的處理也進行了合理優化。與傳統的硬、軟閾值方法相比，去噪效果無論在視覺上還是在去噪后信號的信噪比都有明顯改善，而且新方法很靈活，具有很好的穩定。