所有系統(tǒng)，包括濾波器，都是因果關(guān)系。這意味著它們不能在激勵源激勵之前對激勵(不可預(yù)知)做出任何反應(yīng)。那么，又該如何設(shè)計一款可“預(yù)測”的濾波器呢?好吧，這一切都取決于你對品質(zhì)的期待有多高以及這一預(yù)測的相關(guān)性。
那么，我們再次祭起曾非常流行的“五件你應(yīng)該知道的事”這一招式之旗，我們提出五個核心問題，其答案可以幫助我們繞過這個“濾波器”陷阱。
濾波器如何延緩信號?
信息可以通過多種方式加載于信號，它總是需要一段限定的時間來通過處理系統(tǒng)。你可能很熟悉數(shù)字模塊的傳輸延遲概念。延遲，就是在輸入發(fā)生某些狀態(tài)變化到輸出發(fā)生相應(yīng)狀態(tài)變化這段時間差。有數(shù)字概念的讀者首先想到的可能是一個‘1’和‘0’的碼流，以作為不同電壓或電流水平的物理表述。對于這樣的信號，傳輸延遲沒有害處;但當(dāng)我們考慮到模擬信號(實際上，沒有確定的特性對應(yīng)特定的時間點)時，就不是那么簡單了。
我們經(jīng)常對信號和數(shù)據(jù)序列進(jìn)行低通濾波以消除“噪聲”--高頻率變異，我們已確定其沒有任何意義，且它還是我們要觀察的更重要的基本頻點的障礙。雖然濾波過程對我們的觀察影響巨大，但它絕對是一個影響觀察的案例。當(dāng)我們查看響應(yīng)圖形時，傳統(tǒng)濾波方式最明顯的后果是，在輸入信號的變化和濾波后輸出的相應(yīng)變化之間有明確的時間延遲。當(dāng)我們看一些例子時，我們將在某一時刻借助測試信號清楚地看到這點。
我們?nèi)绾瘟炕@種形式的延遲?
濾波器(或任何其它線性信號處理模塊)輸入信號和相應(yīng)輸出之間的這種“滯后”，
與組延遲緊密相關(guān)，組延遲相當(dāng)于(或略低于)相位響應(yīng)與派生頻率。為此應(yīng)選用明智的單位;如果你用弧度測量相位，以其每秒弧度的角形式表達(dá)頻率，那么，(弧度)除以(弧度每秒)，你就可得到以秒表示的答案。或者你可以使用“周期”—— 一個周期，是一個完整旋環(huán)，或360度。相位差以周期表示，除以赫茲(與每秒的周期數(shù)相同)表示的常規(guī)頻率差，也會給出以秒表述的答案。
我們可能忍不住要問：如果要避免這種滯后，為什么不設(shè)計一款沒有任何組延遲的濾波器?如果你以前讀過我的專欄，你可能會認(rèn)識到這句話中的“危險成分”。因為，你猜對了——它并非這么容易。如果你查找或計算“標(biāo)準(zhǔn)”的低通濾波器響應(yīng)，你會發(fā)現(xiàn)，他們的組延時是總是正向的，一直降到零頻率。這里，我們需要來點別出心裁。
我們可以消除(或者不僅僅是消除)這種延遲嗎?
如果你想讓延遲在任一頻率都為零，那嚴(yán)格的答案是‘不能‘。但確實有種技術(shù)可用以開發(fā)補(bǔ)償濾波器，當(dāng)其與原來的濾波器級聯(lián)時，可以給你零延遲;當(dāng)DC時，甚至是負(fù)的組延遲。正如我們將看到的，這可能非常有用。你不需要進(jìn)行任何試錯——現(xiàn)在，可將麻煩扼殺在未發(fā)。
比方說，某種低通傳遞函數(shù)H，它們在DC時有整體增益。可以容易地論證：新傳遞函數(shù)H’ = 2-H，在DC時也是整體增益，且在DC時的組延遲具有與H相同的
幅值，但卻是負(fù)值。如果你級聯(lián)H和H‘(即串聯(lián)它們)，你會得到一個整體傳遞函數(shù)，我們稱其為H1，它具有DC整體增益和DC零組延時。對于S或Z域的任何線性傳遞函數(shù)來說，H1就等于HH’，即H1 = H(2-H)。無論哪類濾波器，只要H是可實現(xiàn)的，這也就可以實現(xiàn)。
這看起來似乎很怪誕。因為函數(shù)H‘與H的階相同(無論使用模擬或數(shù)字濾波器)，你可以看到，將其組合起來會使濾波器的尺寸加倍，因此實現(xiàn)其所需的資源也要加倍。也許不太容易想象的是，它可能會大大降低濾波器的衰減性能。如果H是一個具有DC整體增益的低通函數(shù)，而在所有其它頻率也具有整體增益(或小于整體增益)，那么函數(shù)2-H就有一個會在1和3之間振蕩的值，也就是說，它可以在響應(yīng)中引入一個高達(dá)9.5dB的“凸點”。如果該凸點落于整體濾波器的阻帶內(nèi)，那么所發(fā)生的一切就只是衰減功能的惡化。如果凸點落在通帶內(nèi)，那么該級聯(lián)的整個通帶內(nèi)的響應(yīng)會與單個H時的大相徑庭。
這里有個簡單例子。對以100kps采樣率數(shù)字方式實現(xiàn)的H，在10kHz時，以n=2的巴特沃斯濾波器開始。為了設(shè)計濾波器并獲得圖表，我使用了新版(2012年2月發(fā)布)的PSoC Creator濾波器工具，它為H給出了以下系數(shù)，幅度和組延時曲線在圖1表示。
雙二階濾波器的最終系數(shù)：
系數(shù)序列為A0，A1，A2，B1和B2
0.0674552917480469
0.134910583496094
0.0674552917480469
-1.14298057556152
0.412801742553711
圖1：0.01 Fs時，N=2的巴特沃斯濾波器的幅度和組延時。
補(bǔ)償濾波器H’與H同分母，而分子等于兩個負(fù)數(shù)(H的分子)。我用快速電子表格進(jìn)行了計算，并將結(jié)果反饋給PSoC Creator濾波器工具。工具為這兩個雙二階部分給出了最好的排序和增益;它獲得了4dB增益，以確保凸點響應(yīng)不高于0dB，見圖2：
雙二階濾波器的最終系數(shù)：
系數(shù)序列為：A0，A1，A2，B1和B2
0.216065168380737
-0.2706618309021
0.0847635269165039
-1.14298057556152
0.412801742553711
0.372884273529053
0.745768547058105
0.372884273529053
-1.14298057556152
0.412801742553711
圖2：帶補(bǔ)償濾波器的N=2巴特沃斯級聯(lián);零DC組延遲
在通帶內(nèi)，頻率響應(yīng)明顯是非平坦(內(nèi)有凹凸)的，而且已經(jīng)放棄了一些相對阻帶抑制。如果你熟悉控制系統(tǒng)理論，你馬上會看到，我們得到的是增加的傳遞函數(shù)零，其組延時的貢獻(xiàn)準(zhǔn)確取消了原始的濾波器極點(以及新極點也會出現(xiàn))。但它并非太過糟糕的一個響應(yīng)——它仍能去掉數(shù)據(jù)序列的高頻率噪聲——如圖3所示，某些神秘數(shù)據(jù)(哇!)：
圖3：某些數(shù)據(jù)(藍(lán)色)，巴特沃斯響應(yīng)(粉紅色)和補(bǔ)償(綠色)
我們不必使用相同的函數(shù)H來構(gòu)造補(bǔ)償濾波器。如果兩個傳遞函數(shù)HA和HB都具有整體單位DC增益和相同的DC組延遲值，則H1 =HA(2-HB)也有整體DC增益和零DC組延遲。
特別是，如果HB是T值的純時間延遲(相等于HA的DC組延遲)，我們可以得到FIR實現(xiàn)的漂亮簡化。就T恰好等于N個采樣周期的傳遞函數(shù)來說，我們得到H1 = HA(2-Z^- N)，幾乎所有的數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)都能很容易地實現(xiàn)它，因為Z圖的
這些負(fù)值直接作用于單位采樣延遲。而2N+1階的對稱FIR濾波器總能滿足該條件;如果多做點工作，它就可以適應(yīng)不對稱的情況，其中N不是整數(shù)。
因此，無論我們選擇工作在S域或Z域，我們都可以構(gòu)建零DC組延時的低通傳遞函數(shù)。但我們沒必要在零組延時停止;雖然我們可以很容易地使其為負(fù)，我們也在此進(jìn)入預(yù)測域。在采樣系統(tǒng)中，有一個其輸出是輸入信號在下一個采樣時刻可以預(yù)測的濾波器，會很方便。換句話說，一個濾波器的DC組延遲是負(fù)一個采樣周期。在上面提到的FIR的情況，它簡單得幾乎難以置信。我們只須使用2-z^-(N+1)，而不是2-z^-N的補(bǔ)償函數(shù)。
現(xiàn)在，如果在有能量進(jìn)入濾波器之前，它就實際輸出了一些能量，那就破壞了因果律。所以包含信息的任何信號不可能以負(fù)延遲的形式出現(xiàn)在輸出。但有些信號不包含任何信息——如果一些觀察家對其有心理上的期盼，則無論他們怎么想
——所以當(dāng)組延遲為負(fù)時，就沒有因果關(guān)系可去違反。
這種濾波器的表現(xiàn)如何?
這些功能有個有用的屬性。顯然，對常數(shù)(即DC)輸入，輸出電壓等于輸入，與普通低通濾波器的一樣。但現(xiàn)在當(dāng)輸入以恒定速率變化時，輸出也可以等于輸入。與“標(biāo)準(zhǔn)”低通傳輸函數(shù)不同，在階梯變化激勵下，濾波器的輸出和輸入信號間沒有“滯后”。我們設(shè)計另外一個例子，并更加仔細(xì)地檢驗其屬性。
這次，我們以FIR為例。我們HA的起始濾波器是一個對稱的9階FIR濾波器，(因此有4個采樣周期的恒定組延遲)。這是為陷波60Hz左右有不小變化的AC線頻而設(shè)計的。我會解釋理由，且在以后的Filter Wizard中，明確如何設(shè)計這樣一款“撥空號(dial-a-null)”濾波器，但眼下，我們只是看一看。對于我們的HB，為得到零延遲濾波器，我們使用了4個采樣周期的簡單延遲。這使2-HB看起來像一個系數(shù)為(2，0，0，0，-1)的5階FIR濾波器。級聯(lián)的HAHB做成一款單一FIR濾波器，將兩個Z平面序列卷積在一起，獲得一個13階的濾波器。HA和HAHB的幅度和組延時如圖4所示，這次是用LTspice仿真的。圖中，有相當(dāng)奇怪的頻率和時間，是因為這個濾波器是按工作在220個采樣/每秒設(shè)計的。再次，我們得到一個凹凸不平的通帶并失去了一些阻帶響應(yīng)。
現(xiàn)在，我們可以進(jìn)入預(yù)測領(lǐng)域。如果我們把HB‘的延遲設(shè)為5個采樣周期而不是4個，然后重新計算該級聯(lián)(現(xiàn)在是14個階遞)，我們得到的HAHB如圖4(綠色線段)所示。與期望的一樣，現(xiàn)在，你可以看到DC組延遲是負(fù)4.5ms左右。
圖4：FIR例子，正延遲和負(fù)一個采樣周期的情況
那么這里回報是什么?好，我們看看時間域的行為。三個濾波器的激勵源都是上升又下降的三角形信號。激勵和響應(yīng)如圖5所示。
圖5：無補(bǔ)償和有補(bǔ)償FIR濾波器對三角波激勵的響應(yīng)
由最初的低通濾波器HA引起的“滯后”顯而易見。如果你試圖檢測信號通過某些極限點的哪個點，你會清楚地體驗到在檢測響應(yīng)時的延遲。HAHB線段顯示我們零DC組延遲濾波器的輸出——它具有零延遲!這突顯了對于一般低通濾波器來說極為重要的一個事實：這種濾波器的輸出和輸入之間的斜坡滯后在數(shù)值上等于DC組延遲值。因此，如果我們補(bǔ)償濾波器的設(shè)計，使DC組延遲為零，我們就得以消除滯后。當(dāng)然，代價總是有的，我們可以看到，在輸入波形斜坡發(fā)生突變后，這種濾波器有些疲于應(yīng)付。
如果你放大HAHB曲線，你會看到，每個新采樣都正好在輸入斜坡曲線上。預(yù)測版本HAHB的輸出值移動到斜坡將在下一個采樣周期開始時該有的那個值，我猜，會與我們預(yù)測的一樣。
這種濾波器可在哪里派上用場?
有許多工業(yè)監(jiān)測應(yīng)用，其“正常”行為意味著信號穩(wěn)定(但嘈雜，信號可以是溫度、壓力、物理結(jié)構(gòu)內(nèi)的應(yīng)力等)。 所謂“異常”行為，是指一些被測的系統(tǒng)參數(shù)變得不可控，并不按規(guī)矩“出牌”。
在反饋路徑需要濾波的控制系統(tǒng)，這種零延遲類型的濾波器很有用。消除很低頻率下的組延時，可以顯著增加抑制這些頻率上某些感知行為的控制回路的功效。工程師習(xí)慣于操控系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零以強(qiáng)迫實施所需的回路行為，這正是我們在此以更具分析的意蘊(yùn)所做的。我們的傳遞函數(shù)算法生成取消極點DC組延遲特性的零。我已經(jīng)說過，不是嗎!
這種零或負(fù)延遲濾波器通常還用來處理非電子信號。例如，如果一種金融工具(如股票)的價格被認(rèn)為呈斜坡線性變化，但該斜坡被短期交易噪聲破壞，零延遲濾波器就可用于有效地提取基本行為。雖然，如圖5所示，當(dāng)三角形改變方向時，你可以從濾波器的行為進(jìn)行推斷，但一段時間內(nèi)，這種濾波器會給出極不準(zhǔn)確的結(jié)果，直到價格行為再次按平穩(wěn)的斜坡變化。圖3的神秘數(shù)據(jù)，事實上是個股票價值序列。
這些金融工具的交易員實際上對其價格數(shù)據(jù)序列使用了一些相當(dāng)復(fù)雜的濾波流程。我常常被告知，若電子市場股價暴跌，在金融部門，濾波器向?qū)Э隙〞蟹莨ぷ鳎脕韽木薮蟮膬r格數(shù)據(jù)集中梳理出有趣信號。但讓我們繞過暗礁險灘，戴上安全的堅固工程的護(hù)身符，并重回正軌!
諸如此類的延遲操控可以大有作為的一個工程應(yīng)用是補(bǔ)償數(shù)字D類放大器的電源電壓變化。對于給定的分度：間隙因數(shù)由輸出開關(guān)輸出，其放大器的平均輸出電壓與電源電壓成正比——即，它沒有電源抑制。當(dāng)人們似乎不想在消費類音頻設(shè)備的電源上下大本錢的時候，這并非好事。
我們可以測量瞬時的電源電壓，并將其回饋到開關(guān)控制算法中。但由于濾波器延遲與測量此類放大器的電源電壓相關(guān)，并將數(shù)據(jù)回饋至控制系統(tǒng)，所以，你最終糾錯的并非此時此地的電源電壓，而是前一段時間的電源電壓。這種差異限制了我們可以用這種回路實現(xiàn)電源抑制。如果我們采用有適當(dāng)?shù)腄C負(fù)組延時的低通濾波器濾除所測量的電源電壓(并不過分強(qiáng)調(diào)出現(xiàn)的高頻噪聲)，我們就可以彌補(bǔ)這種效果(至少在相對的極低頻如此，如AC線頻的諧波頻率)。這種技術(shù)可以對數(shù)字功率放大器AC線的紋波抑制產(chǎn)生重大影響，在一些商業(yè)數(shù)字放大器設(shè)計中就采用了該方法。
