摘 要： 以Xilinx公司的XC4000系列FPGA(現場可編程門陣列)為例，介紹了分布式運算單元DA(Distributed Arithmetic)在高速DSP設計中的原理及實現方法。
關鍵詞： 數字信號處理 DSP FPGA FIR濾波器 FFT
隨著FPGA集成度的不斷提高，在單片FPGA中完成復雜的數字信號處理過程變成了現實。譬如：FIR濾波器、FFT以及雷達信號處理中的數字脈沖壓縮、數字鑒相等，都可以在單片FPGA中實現。在基于Xilinx XC4000系列FPGA設計的DSP中，分布式運算單元DA扮演著重要的角色。本文介紹其原理及其實現方法。
1 分布式運算單元原理
DA的運算原理非常簡單，但是它的應用卻十分廣泛。
一個線性時不變網絡的輸出可以用下式表示：
其中， y(n)為第n時刻網絡的輸出；Xk(n)為第n時刻的第k個輸入變量；Ak為第k個輸入變量的權值。
在線性時不變系統中，對于所有n時刻，Ak都是常量。如果該網絡表現為濾波器，常量Ak 即為濾波器系數，變量Xk為單一數據源的抽樣數據(如A/D的輸出)。而在時－頻轉換系統中(如離散傅立葉變換及快速傅立葉變換)，常數Ak即為旋轉因子值，變量Xk為單一數據源的數據塊(多源數據的例子可以在圖像處理系統中發(fā)現)。
仔細觀察式(1)可以看出，單個輸出y(n) 需要將k個乘積累加。在以XC4000系列FPGA中的可配置邏輯功能塊(CLB)的查找表(Look－Up Table)結構[1]為基礎的DA中，這種乘積累加可以由查找表來實現。XC4000系列的CLB結構特點使得它很容易被高效的配置。
為了使得乘法之后的數據寬度不至于展寬，先把數據源數據格式規(guī)定為浮點數2的補碼形式。需要注意的是，常數Ak 不一定要進行格式轉換來匹配輸入數據的格式，它可以根據所要求的精度進行定義。
變量Xk可以用下式表示：
其中，Xkb為二進制數，即取值為0或1；Xk0為符號位，Xk0為1表示數據為負，為0表示數據為正。
將式(2)代入式(1)可以得到：
可以看出，每個方括號中進行的是輸入變量的某一個數據位和所有常數(A1～Ak)的每一位進行位與并求和。而指數部分則說明了求和結果的位權。現在就可以建立查找表來實現方括號中的操作了，其查找表用所有輸入變量的同一位進行尋址，如圖1所示。
圖1中所示的DA查找表，其寬度為對常數Ak 定義的寬度，深度為2K，K是能夠對數據源抽樣數據進行處理的數據長度，對于濾波器就表現為濾波器階數；對于FFT就表現為FFT點數。
這樣，式(1)所表示的方程就可以由加法、減法和二進制除法來實現了。但是，DA僅僅是運算方程(1)的核心，要完成式(1)還需要根據系統對時間以及FPGA資源的考慮，選擇相應的方法。
2 幾種實現方法
2.1 全并行實現方法
市場上已經有大量的通用DSP芯片，這些芯片以并行的乘法、加法運算，地址產生器和片內存儲器為主要特點，如TMS320C620x、ADSP2106x、及各種通用的FFT芯片(如PDSP16510)。為什么還要選擇FPGA呢？主要是考慮速度。要實現一個64階FIR濾波器，如果采用全并行方式，FPGA可做到50MHz的數據率，可以和系統時鐘相匹配，這是通用DSP芯片無法做到的。下面就舉出全并行的例子。
若將式(4)每個方括號之間的加法并行執(zhí)行，即將每個DA查找表的輸出采用并行的加法，就得到了全并行結構。現將式(4)中的某個方括號重寫如下，并縮寫為sum：
利用式(6)，可以得到一種直觀的樹形陣列，如圖2所示。
圖2中，首先要建立一個K×B位的寄存器陣列，將其輸出進行排列，用所有K個輸入數據的相同位，對DA查找表尋址，從圖中可以看出，當B＝16時，輸入到輸出所需的路徑最長，該路徑為關鍵路徑，影響著電路處理的速度，在進行設計時應該注意到這點，所以應該采用流水線設計方法[1]，并進行適當的約束，其數據率可以達到50MHz。圖中的15個節(jié)點代表著15個并行的加法器，中間過程的數據寬度既可以保持雙精度(B+C)位數據(C是常數Ak的寬度)，也可以采用截尾的辦法得到單精度B位數據，可根據系統所要求的精度確定。
2.2 全串行實現方法
當系統對速度的要求不是很高的時候，可以用全串行設計方法，即一個DA查找表，一個并行的加法器以及簡單少量的寄存器就可達到目的，這樣能夠節(jié)省大量的FPGA資源。同樣，設K＝16，B＝16，將式(4)改寫如下形式：
為了實現式(7)，先從最低位開始，用所有K個輸入變量的最底位對DA查找表進行尋址，得到了[sum15]，將[sum15]右移一位即將[sum15]乘2－1后，放到寄存器中，設為[tem15]；同時，K個輸入變量的次低位已經開始對DA查找表尋址得到[sum14]，右移一位后，與[tem15]相加，重復這樣的過程，直至得到[sum0]，并用前面得到的累加結果減去[sum0]。要實現上述過程，需要K個長度為B的串并行轉換移位寄存器、一個容量為2K×C的DA查找表和一個累加器。該全串行電路的數據率為輸入數據抽樣頻率的1/B，即完成一次運算需要B個時鐘周期。由此可以得到全串行DA模式，如圖3所示。
2.3 串并行相結合實現方法
以上介紹的全串行方式是每個時鐘周期對所有K個變量的一位進行串行處理，全并行方式是每個時鐘周期對所有K個變量的所有B位進行并行處理；這兩種方法是針對速度優(yōu)化和資源優(yōu)化設計的兩種極限情況。在有些情況下，我們可以對這兩種情況進行折中考慮，獲得最佳資源利用和系統速度。我們可以從每個時鐘周期對K個變量的兩位進行處理開始著手，回顧一下式(5)，并將該式改寫如下：
完成該式功能的功能框圖如圖4a所示。
將圖4(a)與圖3進行比較后就可以發(fā)現，圖3中的DA查找表由16個輸入變量的同一位進行尋址，而圖4(a)中的DA查找表的尋址是由16個輸入變量的連續(xù)兩位進行的，即尋址的位數由16位變成了32位。這樣，查找表的內容也需要相應的改變；而且完成一次運算也由原來的B個時鐘周期變成了需要B/2+1個時鐘周期。
下面介紹一種更易于理解的串并行混合設計方法。
將式(5)改寫成如下形式：
從式(9)得到流程圖如圖4(b)所示。
實現過程中應該注意DA查找表的內容，累加之前要乘2-1，注意進位等。
從以上給出的兩種串并行結合的設計方法可以看到，只要將式(5)進行適當的變換，還有其它的硬件實現方法，這里就不一一敘述了。
下面給出在K＝8、B＝16的情況下，不同的DA查找表所占用的資源。Xilinx公司的XC4000系列FPGA的一個CLB可以實現32×1大小的RAM，在圖4(a)中所描述的DA查找表占用2,048個CLB，而在圖4(b)中所描述的兩個DA查找表只占用256個CLB。用一片XC4025即可完成后者，其數據率可達到16MHz。
? 
綜上所述，由于分布式運算單元的應用，改變了傳統的設計觀念，為基于FPGA的DSP設計提出了新的思路，必將在高速的FIR濾波器設計、高速FFT設計中得到廣泛的應用。隨著FPGA集成規(guī)模的不斷提高(Xilinx公司Virtex系列已經達到了百萬門級)，許多復雜的數學運算已經可以由FPGA來實現，單片FPGA實現系統的設想即將變?yōu)楝F實。
參考文獻
1 蔣亞堅，沈桂明. FPGA在雷達信號處理器中的應用研究. 雷達與對抗. 1999(2):57～63
2 The Programmable Logic Data Book. Xilinx, 1999