摘 要： 針對一般LDPC碼優(yōu)化方法無法有效實現(xiàn)IRA碼度分布優(yōu)化的問題，提出了特定約束下IRA碼度分布的優(yōu)化方法。結合密度進化的高斯近似算法優(yōu)化IRA碼度分布序列，提取了IRA碼檢驗矩陣構造的特定約束以改進差分進化算法。仿真結果表明，所設計的度分布序列的噪聲門限高且搜索時間比改進前減少30%。
關鍵詞： 低密度奇偶校驗碼； 度分布； 非規(guī)則重復累積碼； 差分進化
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1962年，Gallager在其論文中首先提出了LDPC碼(Low-Density Parity-Check Codes)[1]，但當時并未受到重視，直到上世紀末被Mackay重新發(fā)現(xiàn)后，才掀起了一股研究與應用的熱潮。LDPC碼是一類由非常稀疏的奇偶校驗矩陣及Tanner圖定義的線性分組前向糾錯碼，它具有簡單的結構描述與硬件復雜度，可實現(xiàn)完全并行操作，有利于高速、大吞吐能力譯碼，譯碼復雜度亦比Turbo碼低，且具有更優(yōu)良的基底（Floor）殘余誤碼性能，因此，LDPC在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中得到了越來越多的應用。常用的非規(guī)則LDPC碼校驗矩陣的非系統(tǒng)比特部分為雙對角線結構，即IRA碼(Irregular Repeat-Accumulate codes)，這種結構的特點給度分布優(yōu)化設計增加了更多約束。本文研究的重點是分析IRA碼構造方法，從中提取碼構造的特定約束，并轉化為度分布序列中各分量的相關性描述，以便消除相關性，利用差分進化DE(Differential Evolution)搜索最優(yōu)化的度分布序列，同時提出了改進方法，在一定程度上加快了搜索速度和性能。
1 IRA碼的構造
1.1 度分布序列的定義
設LDPC碼的碼長為n，信息比特長度為k，校驗比特長度為m，則n=k+m，碼率R=k/n。λ(x):=Σλi xi-1代表非規(guī)則LDPC碼Tanner圖中變量節(jié)點(v-node)的度分布，ρ(x):=Σλi xi-1代表校驗節(jié)點(c-node)的度分布。這里，λi是度為i的變量節(jié)點連接的邊占Tanner圖中所有邊的比例，λi是度為i的校驗節(jié)點連接的邊占Tanner圖中所有邊的比例，最大的變量節(jié)點度為dv，最大的校驗節(jié)點度為dc。非規(guī)則LDPC碼度分布序列可表示為λ2λ3…λdv, ρ2 ρ3…ρdv)，容易驗證下列等式:
定義Nv(i)為度等于i的變量節(jié)點個數(shù)，Nc(i)為度等于i的校驗節(jié)點個數(shù)，推導得出:
1.2 IRA碼構造法
下面分析參數(shù)文獻[3]中IRA碼的構造方法。構造一個(n-1,k)非規(guī)則LDPC碼，其校驗矩陣為：
其中，H1是受度分布約束、隨機產生的稀疏矩陣，且不含重量為2的列；T包含了H中所有重量為2的列(即度為2的變量節(jié)點)。
在矩陣T最后添加度為1的列構成H2，產生一個新矩陣H，作為IRA碼的校驗矩陣，如式(6)、(7)所示[3]:
在校驗矩陣中添加度為1的列后，IRA碼度分布只有略微變化，且該列位于校驗比特位置，對BP(Belief-Propagation)迭代解碼后的誤碼率影響很小。從構造方法可知，IRA碼度分布受如下特殊約束：
約束：所有度為2的變量節(jié)點都分配給奇偶校驗比特，且度為2的變量節(jié)點個數(shù)剛好為m(包括度為1的列)。m為IRA碼的校驗比特長度。
通過推導，由(6)式得系統(tǒng)碼生成矩陣：
式中H2T為上三角矩陣，可用傳遞函數(shù)為1/1+D的差分編碼器實現(xiàn)，因此，IRA碼很容易在硬件上實現(xiàn)快速編碼。
對于已知碼率為R的IRA碼設計，設計約束實際上規(guī)定了度為2的變量節(jié)點個數(shù)和位置，結合(4)式，有:
又根據(jù)(1)式，有:
從一個dv+dc-6維各分量不相關的分布矢量(λ4…λdv-1, ρ2…ρdc-1)，可依據(jù)(9)～(12)式依次計算ρdv、λ2、λ3和λdv,從而唯一確定度分布序列。
2 密度進化的高斯近似和度分布優(yōu)化
??? 密度進化理論是分析度分布序列噪聲門限值的強有力工具，然而該理論涉及很多卷積運算，運算量大。為了簡化計算，Sac-Young Chung等針對加性高斯白噪聲信道AWGN(Additive White Gaussian Noise channel)提出了密度進化的高斯近似分析方法。在消息獨立和消息密度高斯分布條件下，該方法僅分析消息密度高斯分布均值，極大地減少了計算量。這里列出高斯近似分析法的消息密度均值遞推公式:
使用(13)式計算消息概率密度函數(shù)，從而得到迭代后解碼誤比特率，若誤比特率小于預設值ε(如10e-6)，則適當增大σn2，直到誤比特率大于ε。經嘗試，求得度分布(λ,ρ)在誤比特率小于ε時的最大σn2，確定為該度分布的噪聲門限。
3 DE方法及改進
DE是一種并行搜索方法，能夠搜索連續(xù)空間非線性代價方程的全局極值。該方法有能力使搜索跳出局部極值點，避免錯誤的收斂。DE的特點在于產生測試參數(shù)矢量的方案。以DE實現(xiàn)IRA碼度分布序列優(yōu)化的步驟如下，流程如圖 1所示。
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(1) 初始化：確定度分布序列中參與DE的變量個數(shù)L，隨機產生Np個L維隨機矢量xi,g(0≤i≤Np-1，g為迭代次數(shù))；
(2) 計算門限f(xi,g)，找出最大值，設門限最大的矢量為基本矢量xb,g(如圖中xb,g=xl,g)；
(3) 對于每一個矢量xi,g，在其他矢量中隨機選擇兩個矢量xr1,g和xr2,g，定義F為權重因子，以下式計算新矢量vi,g，vi=xb,g+F(xr1,g-xr2,g);
(4) 新矢量ui,g的每個分量以概率CR取vi,g的對應分量值，以概率(1-CR)取xi,g的對應分量值；
(5) 選擇：如果 f(ui,g)> f(xi,g)則xi,g+1=ui,g否則xi,g+1= xi,g；
(6) 停止準則：如果超過了最大迭代次數(shù)或所有矢量已經充分接近，則迭代結束；否則跳轉到第(2)步。
權重因子F對DE的影響很大，增大F會加快收斂速度，但容易收斂于局部極值點；減小F則效果相反。這里，F(xiàn)取0.8；測試矢量數(shù)Np取10L～30L；交疊參數(shù)CR對DE的影響比F小，它更像一種微調，取較大的CR會加快收斂速度，一般在[0.5,1]中取值。
使用DE搜索IRA碼的最優(yōu)度分布序列，首先要消除度分布序列各分量的相關性，否則搜索到的結果無法滿足IRA碼設計的特定要求。1.2節(jié)最后指出dv+dc-6維的分布矢量(λ4…λdv-1, ρ2…ρdv-1)中各分量消除了相關性，并唯一確定度分布序列，因此，筆者在優(yōu)化中使用該矢量。
DE搜索IRA碼的最優(yōu)度分布序列相當耗時，特別是當dv和dc較大，即測試矢量維數(shù)較大時，差分進化的速度很難讓人滿意，根據(jù)一些先驗知識和測試結果，在不影響最終結果的前提下，改進了DE方法，加快了優(yōu)化速度。
測試表明，DE的大部分時間消耗于第二步的門限計算上，因而，改進的主要目標是減少門限計算的時間，為此首先要減少DE測試矢量維數(shù)。
先假定在IRA碼的度分布序列中只有(λ2λ3λ4λdv, ρdv-1 ρdv)大于零，其他都為零，根據(jù)(9)～(12)式，去相關性之后的矢量為(λ4,ρdv-1)，矢量維數(shù)從dv+dc-6維銳減為2維。實驗結果表明，矢量每減少一維，DE的收斂時間大約減少一半，改進后DE可迅速收斂。我們稱這種維數(shù)削減的DE過程為“DE_FIRST”。一般來說，在dv不大時(如dv<10)結果已經很接近最優(yōu)的度分布了，但當dv較大時結果距最優(yōu)的度分布仍有一定差距，這時還要搜索更優(yōu)的度分布。適當調整當前的最優(yōu)矢量(λ2λ3λ4λdv, ρdv-1 ρdv)，在該矢量的一定范圍內隨機產生L=dv-2個矢量，并在此約束下隨機產生若干取值較小的矢量(λ5λ6…λdv,ρdv-2)組成dv-2維隨機矢量(λ4…λdv-1, ρdc-2， ρdc-1)，然后從DE的第二步開始繼續(xù)搜索。這里并沒有擴展(ρ2…ρdc-3)是因為將這些分量設為零幾乎不會影響優(yōu)化度分布的結果。擴展后的隨機矢量唯一確定的度分布已經十分接近最優(yōu)化的度分布了，所以DE的收斂速度比一開始就隨機產生dv-2維隨機矢量的DE快很多。我們稱維數(shù)擴展以后的差分進化過程為“DE_SECOND”。
通過分析大量優(yōu)化結果和其他文獻給出的優(yōu)化序列可以發(fā)現(xiàn)，λ4數(shù)值較小，大多取值在[0,0.2]內，ρdc-1也比ρdc小，一般取值在[0,0.4]。這樣，“DE_FIRST”的初始隨機矢量選擇范圍可以減小，在第一步中，矢量(λ4,ρdc-1)的兩個分量分別在上述兩個區(qū)間隨機產生。實驗證明，這樣做能夠加快搜索速度。
4 仿真結果
仿真參數(shù)設置如下：碼率為1/2；差分進化的Np=20L，F(xiàn)=0.8，CR=0.8。表1列出了用本文介紹的基于密度進化高斯近似的DE搜索方法得到的最優(yōu)化度分布，同時還列出了參考文獻[4]優(yōu)化得到的非規(guī)則LDPC碼度分布和參考文獻[5]同樣用密度進化高斯近似優(yōu)化得到的非規(guī)則LDPC碼度分布。最后一行是度分布對應的噪聲門限。比較dv=20的噪聲門限可知，本文方法得到的最優(yōu)化度分布優(yōu)于參考文獻[5]中的最優(yōu)化度分布，如圖2所示。由于優(yōu)化后的非規(guī)則LDPC碼的Nv(2)一般略大于(11)式規(guī)定的值，因此在約束下搜索的IRA碼度分布中λ2比優(yōu)化的非規(guī)則LDPC碼度分布中λ2小，如表1所示。若沒有IRA碼的設計約束，本文介紹的方法可以搜索到更好的度分布序列。表2是DE改進前后收斂時間及噪聲門限?滓的對比(仿真程序運行于1.5GHz PC機)，可知，改進前后優(yōu)化的度分布噪聲門限很接近，而改進方法能夠節(jié)省大約30%的搜索時間。
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本文通過分析IRA碼構造方法的特定約束，消除了度分布序列各分量之間的相關性，從而利用DE方法搜索具有更高噪聲門限的度分布序列，并利用先驗知識改進了DE方法，加快了搜索速度。這種方法也可以用來搜索其他構造方式下優(yōu)化的度分布序列，對更廣泛的非規(guī)則LDPC碼優(yōu)化設計具有一定的借鑒意義。
參考文獻
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[3] ?YANG M, RYAN W E, LI Y. Design of efficiently?encodable moderate-length high-rate irregular LDPC
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[4] ?RICHARDSON T, SHOKROLLAHI A, URBANKE R. Design of capacity-approaching irregular low-density paritycheck codes[J]. IEEE Trans. Inform.Theory, 2001,47(2):619-637.
[5] ?肖娟,王琳,鄧禮釗. 不規(guī)則LDPC碼的密度進化方法及門限值確定[J]. 電子與信息學報, 2005,27(4):617-620.