隨著科學技術的發展，產品的質量在不斷提高，一些產品已呈現出無故障壽命，特別是在電子行業，環境應力屏蔽的廣泛使用，使電子產品出現了較長的無故障壽命。此時，那些不考慮無故障壽命而分析產品壽命分布數據的模型(如Nelson模型^[1])就不再適用了。本文采用線性累積模型對具有無故障壽命的產品的步進應力加速壽命試驗數據進行了分析，取得了比較好的效果。
1 提出問題
　　為了解某型號電纜的絕緣性能，對其絕緣壽命進行了定時截尾步進應力加速壽命試驗。表1是試驗時各階段的應力水平S_i，表2是部分試驗數據。

　　各個應力水平下電纜絕緣壽命服從威布爾分布，其可靠度函數為：
　　
　　其中，i＝1,2,...,N(N為應力水平數)；γ_i、η_i分別為位置參數和尺度參數，均與應力水平有關；β為形狀參數，反映失效機理^[2]。本試驗的前提是失效機理不發生變化，因而β是一個常量。那么，怎樣根據表中所給的數據來估計這些參數呢？
2 分析問題
2.1線性累積模型
　　從總體中抽取一個樣本，在應力水平S_i下產品有一個確定但未知的壽命t(i,R)，t(i,R)可解釋為S_i下產品壽命分布的1－R分位數。線性累積模型需要作如下的假設：
　　假設I 樣品在應力S_i下保存時間△t_i，該應力水平下樣品的疲勞效應為△t_i/t(i,R)；
　　假設II 任意一樣品其疲勞效應是線性累積的，即：單個產品在應力S_k下保存△t_k時間，k＝1,2,...,i,其累積疲勞效應為：
　　

　　假設III 剩余產品在某應力下的等效起始時間只與其先前的累積疲勞效應有關，而與累積方式無關。于是有：
　　
　　其中τ_i為折算到應力水平S_i＋1下的時間，即S_i＋1下的起始時間。
　　由假設III可知，對于線性累積模型有：
　　
　　由(3)式可推出樣品在對應于△t_k(k＝1,2,...,i)的應力水平下的等效累積工作時間為：
　　
　　由(4)式可以得出在應力水平S_i下的等效工作時間。在失效機理保持不變的情況下，步進應力方案的試驗數據可轉化為任意給定應力水平下的等效工作時間,其值為：
　　
　　當i＝4時，(5)式可用圖1來描述。

2.2 非參數估計
　　假定隨機樣本量為n，所有樣品有相同的起始應力和應力遞增量，除了失效時所對應的應力外，樣品在相同應力水平下的保存時間相同。試驗過程中出現r個產品失效，r_c個右截尾數據，剩余n－r－r_c個樣品在起始點和右截尾時刻之間的任意時刻截尾。對于r個失效產品，在應力水平S_i下的保存時間△t_i,j，有j＝1,2,...,r，i＝1,2,...,Nj(Nj為產品失效時所經歷的應力水平數)。對于r_c個右截尾樣品，在應力水平S_i下的保存時間△t_i,j，有j＝r＋1,r＋2,...,r＋r_c，i＝1,2,...,N_C(N_C為產品從零點到右截尾時所經歷的應力水平數)。對所有的j，有N_C≥Nj。
　　由(4)式，失效樣品j在N_j個應力水平下的總工作時間折算到S_Nj下的等效工作時間為：
　　
　　同理，未失效樣品j在Nc個應力水平下的總工作時間折算到S_Nc下的等效工作時間為：
　　
　　對r＋r_c個樣品，從Nelson－Altshuler^[3]方法中可以得出R_j的估計值為：
　　
　　其中,F(·)為累積分布函數；θ為待估參數。
　　根據極大似然估計原理及似然函數
　　
　　可得到θ的估計值。
3 解決問題
　　很多試驗數據都表明(1)式中γ_i和η_i隨著應力水平的增大而減小，工程應用中常采用以下的關系式來描述γ_i和η_i與應力水平S_i之間的關系^[4]：
　　
　　其中，a、b、c、d均為常數。
　　由(1)、(11)、(12)式可得t(i,R_j)及累積分布函數的表達式分別為：
　　
　　結合表1、表2中的數據，由(6)、(7)、(8)、(10)、(13)、(14)式可得出a、b、c、d的極大似然估計值(見表3)。