摘? 要: 提供了一種每周波四點(diǎn)采樣的最小二乘方濾波器,通過(guò)整型變換和查表求根等優(yōu)化算法,可在單片機(jī)中實(shí)現(xiàn)相量的快速測(cè)量。分析了濾波器中相量的相位關(guān)系,并提供了兩線制" title="兩線制">兩線制功率的計(jì)算方法。

　　關(guān)鍵詞：最小二乘方濾波器? 向量? 單片機(jī)? 功率

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　　目前,以單片機(jī)為基礎(chǔ)的數(shù)字式電氣測(cè)量、保護(hù)裝置已成為主流形式。交流信號(hào)直接采樣也已成為一種普遍的方法。快速傅立葉算法是其中的主要算法,而最小二乘方算法的實(shí)際應(yīng)用" title="實(shí)際應(yīng)用">實(shí)際應(yīng)用比較少。這是因?yàn)?若直接采用最小二乘方算法,計(jì)算量很大,特別是在單片機(jī)的處理能力有限的情況下,既要保證實(shí)時(shí)性,又要保證計(jì)算精度,不經(jīng)過(guò)精心設(shè)計(jì)和程序優(yōu)化,很難保證二者的統(tǒng)一。

　　通過(guò)減少采樣次數(shù)、使用每周波四個(gè)采樣點(diǎn)擬合的濾波器和一套優(yōu)化措施,使該算法計(jì)算速度大大提高,可以勝任工頻" title="工頻">工頻向量的實(shí)時(shí)測(cè)量,因而可以用于過(guò)流、速斷、方向保護(hù)等多個(gè)方面。本文分析了濾波器中的向量相位關(guān)系,同時(shí)給出了以此為基礎(chǔ)的兩線制功率計(jì)算" title="功率計(jì)算">功率計(jì)算舉例。該方法已通過(guò)實(shí)際應(yīng)用檢驗(yàn)。

1 最小二乘方濾波器的構(gòu)造

　　根據(jù)文獻(xiàn)[1～3]的研究結(jié)果,對(duì)每一路信號(hào),輸入電壓函數(shù)可表示為:

　　在一般測(cè)量、保護(hù)應(yīng)用中,只關(guān)心基波成分。為減少計(jì)算量,應(yīng)最大限度地減少采樣次數(shù)。根據(jù)采樣定理,一個(gè)正弦函數(shù)的離散采樣次數(shù)最少每周波3次。為方便起見(jiàn),將每周波采樣次數(shù)定為4次,即采樣周期為5ms。則公式(1)中只能包含直流和工頻分量。將直流分量按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)并取其前兩項(xiàng),則(1)式成為:

　　其中,P₀為直流分量值,P₁為基波峰-峰值,θ₁為基波分量在采樣時(shí)刻相對(duì)于零點(diǎn)的相位角" title="相位角">相位角。

若以最近連續(xù)4次采樣值為樣本,可得到4個(gè)采樣方程。如將P₀、-P₀λ、P₁cos(θ1)、P₁sin(θ1)作為待測(cè)未知數(shù),可將4個(gè)采樣方程表示成如下矩陣:

　　若分別用符號(hào)A表示系數(shù)矩陣,X表示未知參數(shù)向量,U表示采樣值,則:

　　其中A^-1表示A的逆矩陣,亦即向量X的最小二乘方濾波器。根據(jù)文獻(xiàn)[3],這個(gè)濾波器為:

　　因此，

　　實(shí)際應(yīng)用中,為了減少單片機(jī)順序采樣帶來(lái)的時(shí)間延遲所造成的計(jì)算誤差,硬件電路應(yīng)具有同步采樣功能。其作用就是在采樣時(shí)刻將所有電氣信號(hào)分別保持下來(lái)。

2 數(shù)字濾波器中瞬時(shí)相量的關(guān)系

　　如果用ua、ub、uc分別表示三相電壓相量,Ua，Ub、Uc表示其有效值,初始相位角分別用θua、θub、θuc表示;用ia、ib、ic分別表示三相電流相量,Ia、Ib，Ic表示其有效值,初始相位角分別為θia、θib、θic。則(4)式就是對(duì)應(yīng)相量在X軸上的投影,即矢量的實(shí)部;(5)式就是對(duì)應(yīng)相量在Y軸上的投影,即矢量的虛部,(4)和(5)式中的θ₁是上述相量相對(duì)于20ms時(shí)間窗之初時(shí)刻的相位角。

　　圖1表示了A相電壓和A相電流的相位關(guān)系,其他依此類(lèi)似。

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　　上述相量的相位關(guān)系是相量進(jìn)一步運(yùn)算的基礎(chǔ)。

3 兩線制功率計(jì)算

　　目前,高壓線路的功率測(cè)量一般采用三相電壓和兩相電流,即兩線制功率表方法。用式(4)、(5)、(6)、(7)和(10)可以實(shí)現(xiàn)線路有功功率和無(wú)功功率測(cè)量,具體過(guò)程如下:

　　兩線制的前提是假設(shè)三相電流平衡,即:

　　其中,uab為A相和B相之間的線電壓;ucb為C相和B相之間的線電壓。

　　將(6)和(7)式結(jié)果帶入(14)、(15)和(13)式,即測(cè)得三相平衡線路的有功功率。

　　如果輸入電壓是相電壓,則:

　　將上式中的余弦函數(shù)展開(kāi)后,再將(6)和(7)式的對(duì)應(yīng)結(jié)果分別代入即可。

無(wú)功功率的計(jì)算只需將(14)、(15)和(16)式中的余弦運(yùn)算改為相應(yīng)的正弦運(yùn)算即可。

4 基于單片機(jī)應(yīng)用的優(yōu)化措施

　　從目前市場(chǎng)情況來(lái)看,雖然單片機(jī)性能在不斷提高,如INTEL單片機(jī)從8位、16位到32位不斷推陳出新,但真正得以廣泛采用的并不是性能最好的產(chǎn)品。從實(shí)際應(yīng)用來(lái)看,有時(shí)必須面對(duì)一個(gè)受限制的客觀現(xiàn)實(shí)。就本應(yīng)用來(lái)說(shuō),采用以下措施可大大提高程序的計(jì)算速度。

4.1 變浮點(diǎn)運(yùn)算為整數(shù)運(yùn)算

　　對(duì)于(4)～(10)式來(lái)說(shuō),采用C或PL/M高級(jí)語(yǔ)言進(jìn)行浮點(diǎn)運(yùn)算既方便,精度又高。但與整數(shù)運(yùn)算相比,浮點(diǎn)運(yùn)算速度要慢得多。因此,為提高計(jì)算速度,應(yīng)盡量采用整數(shù)運(yùn)算。從工程實(shí)際來(lái)看,A/D轉(zhuǎn)換后的結(jié)果一般是雙字節(jié)整數(shù),可與擴(kuò)大10倍的最小二乘濾波器直接運(yùn)算,則(4)式變?yōu)?

　　(17)、(18)式只有6次4字節(jié)的長(zhǎng)整數(shù)乘法和4次加法。即使對(duì)12位A/D而言,(17)、(18)式的計(jì)算結(jié)果也不會(huì)溢出。由于濾波器擴(kuò)大10倍時(shí)是整數(shù),沒(méi)有四舍五入,因此計(jì)算過(guò)程無(wú)任何附加誤差。

4.2 快速求平方根法

　　從(4)～(10)式來(lái)看,耗時(shí)最多的是(10)式,即求平方根運(yùn)算,獲得基波的峰—峰值。

如果直接采用標(biāo)準(zhǔn)浮點(diǎn)庫(kù)提供的開(kāi)平方函數(shù),16MHz的80196KC需3ms左右。若采用文獻(xiàn)[4]中的整數(shù)查表法,或文獻(xiàn)[5]提供的精度為1%的二分法,相同條件下求根所需時(shí)間一般在100～300μs之間,計(jì)算速度提高10倍以上。

　　本文提出的每周波4個(gè)采樣點(diǎn)的最小二乘方濾波器可在一般單片機(jī)中實(shí)現(xiàn)工頻信號(hào)的實(shí)時(shí)相量測(cè)量。算法進(jìn)一步優(yōu)化后,可在一個(gè)周波的時(shí)間窗內(nèi)對(duì)多路信號(hào)作出實(shí)時(shí)反映,滿(mǎn)足一般保護(hù)的技術(shù)要求。該算法還可以實(shí)現(xiàn)其他保護(hù)和測(cè)量功能。

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參考文獻(xiàn)

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